Matrices

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester

El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853

En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos,...

1. DEFINICIÓN DE MATRIZ

Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas. Mientras que el determinante es un número la matriz es un conjunto ordenado de números.

2. ORDEN MATRICIAL

Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.

Amxn es una matriz de m filas y n columnas.

aij elemento a de la matriz A que está en la fila i y en la columna j.

3. CONSTITUYENTES Y NOTACIÓN

Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij .

Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz:

A = (aij) o también Amxn = [ aij] o A = [aij]mxn

Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de líneas.

El número total de elementos de una matriz Am×n es m•n

En matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de matrices.

Una lista numérica es un conjunto de números dispuestos uno a continuación del otro.

4. MATRICES CUADRADAS.

Una matriz cuadrada es la que tiene igual número de filas que de columnas. Una matriz cuadrada de orden (n,n) se dice que es una matriz cuadrada de orden n.

A = [ 7] es de orden 1.

La siguiente matriz es de orden 2

4.1. Matriz diagonal.

La diagonal de una matriz es el conjunto de elementos aij tales que i = j, se llama también en otros textos de diagonal principal y al conjunto de elementos aij tales que i + j = n + 1, se les llama diagonal secundaria, donde n es el orden de matriz.

En la matriz anterior los elementos 5, 2, 4 y 8 constituyen la diagonal o diagonal principal y los elementos 1,-3,0 y -6 son la diagonal secundaria.

Para el primer elemento de la diagonal secundaria, a44, 1 tenemos: 4+1 = 4+1.

Para el segundo elemento de la diagonal secundaria, a32, -3 tenemos: 3+2 = 4+1.

Matriz diagonal es una matriz cuadrada donde los elementos no diagonales son todos nulos. Ejemplos de matriz diagonal:

Traza de una matriz cuadrada: es la suma de los elementos de l diagonal principal y se simboliza como tr A. para el ejemplo anterior de la matriz de orden 2 tr A. 6.

4.2. Matriz triangular superior.

Es una matriz cuadrada en que todos los elementos bajo la diagonal principal son nulos.

A = [aij]mxn donde aij = 0, para todo i mayor que j.

4.3. Matriz triangular inferior.

Es una matriz cuadrada en que todos los elementos sobre la diagonal principal son nulos.

A = [aij]mxn donde aij = 0, para todo j mayor que i.

4.4. Matriz escalar.

Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal son iguales.

A = [aij]mxn donde aij = aji.

4.5. Matriz unidad o identidad.

Es una matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal son iguales a la unidad.

A = [aij]mxn donde aij = 1 para todo i = j.

4.6. Matriz simétrica.

Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. A = At , aij = aji para todo i,j.

4.7. Matriz antisimétrica.

Es una matriz cuadrada A = [aij]mxn donde aij = - aij, para todo i,j. También podemos afirmar que es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -At , aij = -aji . Necesariamente aii = 0

5. MATRICES RECTANGULARES.

Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n , donde m diferente de n.

5.1. Matriz fila o vector fila.

Es aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1 x n. Ej: A1x3 = (7 2 -5).

Se dice que los vectores de orden 1xn tienen n componentes o que son vectores n-dimensionales.

Una

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