Matrices

¿Qué es una matriz?

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

Dimensión de una matriz

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Si la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3,...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.

Matrices iguales

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

¿Cuáles son los elementos de una matriz?

Una matriz está formada por números, que pueden ser de cualquier conjunto (reales, enteros, naturales, racionales, irracionales, complejos)

¿Cómo se define el orden de una matriz?

Las matrices se componen de filas y columnas a las que generalmente se las representan con las letras m y n. La m para las filas y la n para las columnas.

El número de elementos de una matriz lo obtendremos de multiplicar el número de filas por el de columnas: m x n

Al producto m x n llamamos orden de matriz

Cuando decimos que una matriz es de orden 4x5 ya podemos afirmar que se trata de una matriz de 4 filas y 5 columnas.

Te darás cuenta que una matriz de 3x2 es más pequeña que otra matriz de 7x4. Esto quiere decir que el orden, el tamaño, la dimensión significan lo mismo.

Las clasificaciones son iguales, anti simétrica, escalar y de identidad o unidad.

Clasificación de matrices.

Cuadradas: La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma ahí constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Rectangulares: La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz diagonal: En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz triangular superior: En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Vector:

Matriz fila; Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna; La matriz columna tiene una sola columna

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At) t = A

(A + B) t = At + Bt

(Α •A) t = α• At

(A • B) t = Bt • At

Matriz inversa

A • A-1 = A-1 • A= I

Propiedades

(A • B)-1 = B-1 • A-1

(A-1)-1 = A

(K • A)-1 = k-1 • A-1

(A t)-1 = (A -1) t

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.

F2 - F1

F3 + F2

F2 - F3

F1 + F2

(-1) F2

La matriz inversa es:

Operaciones con matriz.

Multiplicación de un escalar por una matriz

Dada una matriz A= (aij) y un número real k R, se define la multiplicación de un número real por una matriz a la matriz

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