Las formas geométricas

Introducción

Las cónicas constituyen uno de los conjuntos de curvas más importantes de la Geometría y que más se utilizan en distintas ramas de la Ciencia y la Ingeniería.

En este trabajo presento lugares geométricos que son muy importantes en la Geometría analítica y que se originan de considerar cortes en diferentes ángulos de un cono doble circular recto, mediante un plano, dando lugar a las figuras llamadas precisamente cónicas, o también secciones cónicas, las que según el ángulo de corte reciben el nombre de parábola, elipse, hipérbola, y algunos casos especiales de estas curva.

Todas estas secciones cónicas tiene una propiedad común que es satisfecha por cada uno de sus puntos, y es que el cociente de la distancia de cada uno de estos puntos hasta un punto fijo F, llamado foco, entre su distancia a una recta fija D, llamada directriz, es siempre constante, denotada por e y denominada excentricidad.

Cónicas

Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasas por su vértice.

Historia

El matemático griego Menecmo descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio de Perga (antigua cuidad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía.

Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio por nombre: elipse, hipérbola y parábola.

Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizá las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gura alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gura.

Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada.

En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física. Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. El astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón. Más tarde el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica.

Clasificación

Elipse

Definición: Llamamos elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del plano es constante este valor es 2a, y , es constante. Veamos sus elementos en los siguientes dibujos:

Los puntos fijos y se denominan focos, siendo el eje focal la recta que pasa por ellos.

La excentricidad de una elipse es su grado de achatamiento y su valor está determinado por la expresión:

Cuanto mayor es la excentricidad mas achatada es la elipse. En una elipse y por lo tanto la excentricidad es positiva y menor que uno.

Ecuación

Supongamos que el origen de coordenadas está en el centro de la elipse y que el eje focal coincide con el eje , entonces los focos son:

Hipérbola

Si el ángulo beta que forman el eje y el plano que corta a la superficie cónica es menor que el semiángulo cónico alfa, la curva intersección es una curva abierta con dos ramas, denominada hipérbola:

Si el plano secante pasa por el vértice, la curva se degenera en dos líneas que coinciden con dos generatrices.

Lugar Geométrico - Elementos de la Hipérbola

Los puntos de la hipérbola tienen una propiedad que permite definirla como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. Esa constante es igual a 2a, la distancia entre los dos vértices de la hipérbola.

En el dibujo, los elementos de la hipérbola son:

• AB = 2a = Eje real

• Mediatriz de AB = Eje imaginario

• F1-F2 = 2c = Distancia focal

• A,B = Vértices (AB=2a)

• F1 y F2 = Focos

• d1 y d2 = Radiovectores de P

• |d1 - d2| = 2a = cte.

• excentricidad = c / a (>1)

• a2 + b2 = c2

La hipérbola también puede definirse como el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a otra dada que pasan por un punto fijo exterior a ésta. Y también es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una circunferencia y de un punto exterior a ésta.

Ecuación matemática de la Hipérbola

Considerando el centro de la hipérbola como el punto de coordenadas (0,0), y siendo las coordenadas de un punto P(X,Y)…

Propiedades de la Hipérbola

La circunferencia focal de un foco es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco con respecto a cualquier tangente a la hipérbola.

PARABOLA

Una parábola es una curva en la que los puntos están a la misma distancia de: un punto fijo (el foco), y

una línea fija (la directriz)

Observaciones

Ecuaciones Analíticas de la Parábola

En esta sección sólo se considerarán parábolas con el vértice V en el origen de coordenadas y cuyos focos estarán localizados sobre los ejes x ó y (fig. 6.1.2.)

Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F (fig 6.1.2 b)entonces, .

Pero,

Recíprocamente, sea P(x, y) un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e PDD-F.

Circunferencia

Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

Ecuación analítica de la circunferencia

Si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos

x2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0.

Si reemplazamos – 2a = D; – 2b = E; F = a2 + b2 – r2 tendremos que:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Ejemplo: Si tenemos la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0

Entonces tenemos que: D = 6 Þ 6 = – 2a Þ a = – 3

E = – 8 Þ – 8 = – 2b Þ b = 4

El centro de la circunferencia es (– 3, 4). Hallemos el radio

F = (– 3)2 + 42 – r2 Þ – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 Þ r = 6

La ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36

Conclusión

En este trabajo hemos podido aprender en qué consiste y qué conceptos son los que abarca la palabra CÓNICAS.

Aprendimos también que hay cuatro tipo de cónicas, que son la hipérbola, parábola y elipse; todas son de mucha importancia en nuestra vida porque tiene diferentes aplicaciones prácticas. Por ejemplo gracias a ellas se han podido desarrollar diferentes aparatos, para el estudio de órbitas (astronomía), entre otras cosas que han beneficiado y facilitado nuestras vidas.

Denomina sección cónica (o simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas Si el plano es perpendicular al eje del cono, la intersección resultante es un círculo. Si el plano está ligeramente inclinado, el resultado es una elipse. Si el plano es paralelo al costado (un elemento) del cono, se produce una parábola. Si el plano corta ambas extensiones del cono, produce una hipérbola

Anexo

Parábola

Bibliografía

wmatem.eis.uva.es/~matpag/.../Conicas/marco_conicas.

www.educared.org/wikiEducared/Introducción_a_las_cónicas.html

webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/.../conicas%20teoria%20%201.doc

www.slideshare

divulgamat2.ehu.es/html/conicas/cônicas

kambry.es/Apuntes%20Web/.../Analisis_Algebra/.../Conicas

Índice

Introducción 1

Cónicas 2

Historia 2

Clasificación 3

Elipse 3

Ecuación 4

Hipérbola 5

Lugar Geométrico - Elementos de la Hipérbola 5

Ecuación matemática de la Hipérbola 6

Propiedades de la Hipérbola 7

Parabola 7

Ecuaciones Analíticas de la Parábola 8

Circunferencia 9

Ecuación analítica de la circunferencia 10

Conclusión 11

Anexo 12

Bibliografía 13

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