Leyes de los exponentes

EXPONENTES

Los exponentes se utilizan para escribir productos de factores repetidos. Por ejemplo, el producto (3)(3)(3)(3)  se escribe (3)(3)(3)(3)  = 34. El número 4 muestra que 3 aparece como factor cuatro veces. El número 4 es el exponente y el 3 es la base. La cantidad 34 se denomina expresión exponencial. La expresión 34 se lee "3 a la cuarta potencia" o "3 a la cuarta". Al multiplicar los cuatro 3 se obtiene  34 = (3)(3)(3)(3)  = 81.

El exponente indica las veces que otro número llamado base, se considera como factor. Ejemplo:   23 = 8. La base es 2, el exponente es 3 y la potencia es 8. Esta operación se llama potenciación. En general, si a es un número real y n es un número natural:  an   = aaaa…a

Propiedades de los exponentes:

• Regla del producto para exponentes: Si m y n son números naturales y a es cualquier número real, entonces

                        am an  = am+n

En otras palabras, dos o más términos se multiplican sumando sus exponentes y     anotando la misma  base.                        

• Regla del cociente para exponentes: Si a es cualquier número real distinto de cero y m y n son enteros distintos de cero, entonces

                                        am  =   am-n

                                        an

O bien, dos o más términos se dividen restando sus exponentes y anotando la misma base.

• Reglas de las potencias para exponentes: si a y b son números reales, y m y n son enteros, entonces

                (am)n  =  amn 

                (ab)m  =  am b m 

                (a/b)m  =  am / bm 

Lo anterior se puede expresar también como:

• Cuando una potencia se eleva a otra potencia, la base se eleva al producto de los exponentes
• Cuando  un producto se eleva a una potencia el exponente se anota en cada una de las bases
• Un cociente se eleva a una potencia afectando cada uno de sus elementos por el mismo exponente

• Exponente cero: Si a es cualquier número real distinto de cero, entonces

                                a0 = 1

       O bien, todo número elevado a la potencia cero es igual a la unidad.

• Exponente negativo: Para cualquier número natural n y cualquier número real a, distinto de cero,                       a-n =    1  

                                                                                   an

También se utiliza para transformar los exponentes negativos a positivos                       cambiando de posición y viceversa.

• Un exponente fraccionario se transforma en radical: el numerador del exponente fraccionario se anota como exponente y el denominador como índice de radical

an/m       =    m√an          

Ejercicios

1. Resuelva las siguientes expresiones algebraicas simplificando al máximo. Recuerde que en el resultado final no deben existir exponentes cero, negativos o fraccionarios.  

1)            2425  

2)            120

3)             3-3

4)             1/2-3

5)             1/x-5

6)             212/28

7)             25/25

8)             (22)3

9)             [(2)(4)]3

10)           (2/3)3

11)          (3/4)-2

12)          31/5   

13)          4-1/2

1. Resolver, siguiendo las indicaciones anteriores

1)              x6 x8

2)              a3 b2 a5 b

3)              x11 x-5

4)             x2/5 x3/5

5)              y y1/2

6)             (1/4) 3/2

7)              (-8/27) 4/3

8)              (64a3) 2/3

9)               (x5 y8)5

10)             (x5/9 y4/3)18

11)              x-2 y3 /yz-2

12)             (x1/5 y6/5/z2/5)5

13)             (2x)2 (3x3)3

14)             [(3x)(-5x2)]2

15)             14x3/21x-5

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