Logico-matematico

EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO-MATEMÁTICO

Conferencia de Apertura del «1º Congreso Mundial de Matemáticas en E. I.»,

organizado por la Asociación Mundial de Educadores Infantiles

José Manuel Serrano González-Tejero

Universidad de Murcia

INTRODUCCIÓN

Cuando hablamos de pensamiento lógico-matemático, en términos generales, se

entiende que hacemos referencia a las matemáticas o al conocimiento matemático y,

aunque es cierto que las nociones matemáticas suponen una de las posibles formas

de pensamiento lógico-matemático, no es menos cierto que este reduccionismo del

pensamiento lógico-matemático al conocimiento matemático, es un craso error.

Cualquier epistemología, y la epistemología genética de Jean Piaget no puede

sustraerse a ello, se encuentra abocada a considerar el problema de la bipolaridad

del conocimiento. En efecto, sabemos que muchas proposiciones alcanzan su valor

de verdad o falsedad sin recurso a la constatación empírica y sólo pueden ser

alcanzadas por deducción. Por el contrario, podemos encontrar otro gran conjunto

de proposiciones en las que esos valores están mediatizados por la posibilidad de

constatación empírica de los hechos a los que se refieren y sólo pueden ser

alcanzadas por inducción. Este planteamiento parece conducir a una irreductibilidad

entre estos dos conjuntos de verdades y cualquier teoría del conocimiento se va a

ver abocada a responder al problema entre la relación de estas dos formas de

conocimiento: el conocimiento lógico-matemático (verdades normativas) y el

conocimiento físico (verdades fácticas).

Para poder dar solución a este problema Piaget postula la necesidad de una

continuidad funcional entre la vida y el pensamiento, porque para el eminente

epistemólogo suizo “si los problemas biológicos y psicológicos son solidarios, ello se

debe a que el conocimiento prolonga, efectivamente, la vida misma, de tal forma que

la asimilación biológica… se prolonga en una asimilación intelectual”[1]. Esta

continuidad entre lo biológico y lo psicológico queda asegurada por una propiedad

intrínseca a todo tipo de organización vital: la acción, mecanismo a través del cual el

organismo entra en contacto con el entorno, lo asimila y «actúa» sobre él

transformándolo. Ahora bien, como no existe «acción» sin «reacción», Piaget se ve

en la necesidad de utilizar el término interacción para designar las relaciones entre el

individuo y lo real.

En el proceso de interacción sujeto↔objeto tenemos, por tanto, tres elementos

(sujeto), (↔) y (objeto). El primer elemento de la terna, es decir, el sujeto, es el

conocedor y el conocimiento lo puede extraer del propio sujeto (metacognición), de

la interacción con el objeto (cognición o conocimiento lógico-matemático) o del

objeto (cognición o conocimiento físico). De esta manera la apropiación de los

saberes y de los contenidos específicos de las matemáticas es una forma de

conocimiento lógico-matemático, pero, evidentemente, no es la única posible.

Hecho este breve preámbulo, vamos a comenzar a desarrollar una forma de

conocimiento lógico-matemático que conocemos como «aritmética», así como sus

relaciones e implicaciones con otra forma de conocimiento lógico-matemático que

denominamos «lógica».

Desde que vieron la luz los primeros trabajos piagetianos sobre la construcción del

número y, muy especialmente, desde la aparición en 1941 de la Genèse du nombre

chez l'enfant con la propuesta de la indisociabilidad cardinal-ordinal del número y los

subsecuentes trabajos de esta obra pionera, han proliferado, a partir de la década de

los «60» y hasta el momento actual, las investigaciones sobre los orígenes del

número o, si se prefiere, sobre la construcción del número en el niño, tanto desde

posiciones de afianzamiento en el seno de la propia Escuela de Ginebra, como de

confirmación o de aceptación o refutación parcial, pero siempre en el seno de la

propia teoría piagetiana, aunque se intenten integrar en la misma elementos de otros

modelos o teorías (postpiagetianos o neopiagetianos). De hecho, desde 1960 hasta

el momento actual, tenemos registrados más de 200 artículos de investigación sobre

la conservación o la construcción del número, gran parte de ellos publicados en

revistas de amplio impacto como Child Development, Developmental Psychology,

Journal of Experimental Child Psychology, Journal of Educational Psychology,

Journal for Research in Mathematics Education, Arithmetic Teacher, Recherches en

Didactique des Mathematiques, Infancia y Aprendizaje, Estudios de Psicología, etc.,

amén de otras tantas revisiones, libros y capítulos de libro, lo que supone cerca de

una decena de millar de páginas dedicadas al tema que nos ocupa.

Las investigaciones que hemos venido desarrollando, desde 1980, sobre los

componentes cardinales y ordinales del número, ponen de manifiesto que el número

no es clase de relaciones simétricas transitivas (empleando la terminología de

Russell, clase de clases) o, al menos, no sólo es clase de clases, como proponen los

cardinalistas, tampoco hace referencia al encaje de relaciones asimétricas transitivas

o, al menos, no sólo es relación de orden, como proponen los ordinalistas, aunque

tampoco podemos admitir la indisociabilidad cardinal-ordinal del número, tal y como

propone Piaget. Nosotros proponemos la siguiente explicación funcional que puede

ser tomada a modo de definición:

«El número es una de las doce categorías kantianas reformuladas por Piaget que

pertenece a la función implicativa de la inteligencia y que, por lo tanto, tiene como

función la discretización del continuo (asimilación del universo). Como todas las

categorías que permiten la adaptación del sujeto a su entorno, se encuentra

regulada por la función organizadora de la inteligencia, lo que equivale a decir que

es una totalidad independiente del resto de las categorías, con un sistema de

relaciones que le es propio, unos fines específicos y unos medios (valores)

adecuados al logro de esos fines».

Ahora bien, la función implicativa o asimiladora de la inteligencia es única y, por

tanto, independencia, no significa aislamiento, sino interacción. Nos encontramos

por tanto con una estructura cognitiva específica, con un funcionamiento igualmente

específico y que ejerce una función interactiva con otras estructuras cognitivas de

las que depende el propio proceso de asimilación.

Esta interacción determina que las estructuras o categorías estructurales que

configuran el proceso centrípeto de la adaptación tengan un desarrollo más o menos

armónico y, por tanto, que desde una perspectiva estadística «correlacionen» o

«covaríen» entre sí. Sin embargo, esta correlación trasciende los límites

estadísticos, porque estadísticamente no puede existir independencia

(ortogonalidad) y covariación. La interpretación vendría dada en términos de

“independencia de organización”: un sistema de relaciones característico, constituido

por leyes específicas, unas finalidades diferenciadas y unos medios (esquemas)

diversificados. Quizás por eso habría que ver esta situación más en la línea, o desde

el punto de vista, de la “matemática ingenua”, como intersección de conjuntos. De

esta manera podríamos interpretar nuestro estudio desde la perspectiva de un

diagrama configurado por tres conjuntos que representarían los tres elementos

configuradores del proceso de cuantificación en el hombre: clases, relaciones

(asimétricas) y número.

Utilizando una terminología y una interpretación puramente piagetiana, diremos que

nos encontramos con las tres posibles formas de equilibración cognitiva

(asimilaciónÛacomodación), al menos en lo que hace referencia a los procesos de

cuantificación que nos ocupan en este trabajo:

Por un lado, tendríamos las equilibraciones internas de los subsistemas numérico

(3+5+6+7), de relaciones simétricas (1+4+5+7) y de relaciones asimétricas

(2+4+6+7), que se corresponderían a la primera de las formas de equilibración

cognitiva descritas por Piaget y que tienden a la constitución (por asimilaciones

sucesivas) y conservación (mediante acomodaciones conseguidas) de estos

sistemas.

Por otro lado, tenemos las interrelaciones entre los tres subsistemas que se

encuentran reguladas por un sistema de asimilaciones recíprocas, que conllevan

sendas acomodaciones recíprocas (zonas 4, 5, 6 y 7) y que tienden a la constitución

y conservación del sistema de cuantificación humano y a su mutua conservación, lo

que corresponderían a la segunda de las formas de equilibración piagetiana.

Finalmente, este sistema de cuantificación supone una organización de todos los

subsistemas que engloba, gracias a un conjunto de transformaciones que implica un

proceso doble. Por una parte, un proceso de integración (con carácter asimilador) de

...