MODELOS DE LINEAS DE ESPERA

UNIDAD IV  MODELOS GENERALIZADOS DE LINEAS DE ESPERA

4.1  Modelos con un  canal de servicio  y población infinita (M/M/1)  Modelo 1

4.2  Modelo multicanal con población infinita (M/M/S)  Modelo 5

4.3  Modelo con un canal de servicio y población finita  (M/M/1)  Modelo 8

4.4  Modelo multicanal con población  finita (M/M/S)  Modelo 9

4.1  Modelos con un  canal de servicio  y población infinita (M/M/1) 1

En este tipo de problemas tendremos la formación de una sola línea de espera, para ser atendidos por un solo servidor. Los clientes llegan aleatoriamente. La probabilidad de una llegada durante un tiempo especifico, permanece constante y es independiente del número de llegadas previas y de la duración del tiempo de espera.

               [pic 1]

Ejemplo:

Sam el veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para perros, en la preparatoria local. Sam puede vacunar un perro cada tres minutos. Se estima que los perros llegarán independientemente y aleatoriamente durante el día, en un rango de un perro cada seis minutos, de acuerdo con una distribución de Poisson. También suponga que los tiempos de vacunación de Sam están distribuidos exponencialmente. Encuentre:

1. La probabilidad de que Sam  esté ocupado.
2.  La porción de tiempo en  el que Sam esta ocupado.
3. El número promedio de perros que esta siendo vacunado  y  de los que están esperando  dicho servicio.
4. El número de perros  que esperan se vacunados.
5. El tiempo promedio que espera un perro antes de ser vacunado.
6. La cantidad promedio  de tiempo que un perro pasa  entre espera en la línea y ser vacunado.

Ejemplo:

Una refinería distribuye combustible mediante camiones (autotanques) que se cargan en una terminal. Allí se despachan camiones tanto de la compañía como camiones independientes. Estos últimos se quejan porque algunas veces tienen que esperar para ser atendidos, por lo tanto, pierden dinero por el costo del conductor y del camión que está siendo desaprovechado. Por la situación anterior solicitan que se disponga de una segunda terminal de despacho o bien, pagar una cantidad equivalente al tiempo de espera. Se tienen los siguientes datos:

El 30 % de los camiones son independientes. Los camiones llegan a una tasa de 2 por hora y la tasa de servicio es de 3 por hora.

1. Determinar la probabilidad de que un camión tenga que esperar.

1. Determinar el tiempo de espera de un camión.

1. Determinar el tiempo  perdido por día de los camiones independientes.

1. Si la hora perdida cuesta $300 del operario y $2000 del camión por día. ¿Qué sería más conveniente, pagar el costo del camión y del conductor o abrir la nueva terminal suponiendo que el costo por día es de $20 000?

1. Modelo multicanal con población infinita (M/M/S) 5

El siguiente paso lógico es revisar un sistema de colas con múltiples canales, en el cual dos o más servidores están disponibles para manejar a los clientes que llegan. Si se asume que los clientes esperan el servicio desde una línea, y después acudan al primer servidores disponible ejemplos: servicio que ofrecen bancos hoy en día (una línea común se forma y el cliente a la cabeza de la línea, acude al primer cajero disponible), otros ejemplos, pago de luz hacienda.

Ejemplo:

1. Un negocio que se dedica a la instalación de sonido para autos ha decidido abrir una segunda área de instalación y de contratar a un segundo asistente. Los clientes, que llegan a una tasa de aproximadamente 4 por hora, esperan en una sola línea, hasta que uno de los dos asistentes esté libre. Cada sistema de sonido se instala en un vehiculo a una tasa de aproximadamente  de 3 sistemas / hora.

1. Determinar la probabilidad de que se encuentren vacío el sistema.
2. El numero promedio de clientes en el sistema.
3. Si se pretende que los clientes no tengan que esperar mas de 3 minutos  determine si fue conveniente contratar a un segundo asistente.

Problema propuesto

Una compañía telefónica, esta planeando la instalación de casillas telefónicas en un nuevo aeropuerto. Se ha seguido la estrategia  de  que una persona no tenga que esperar  mas del 10 % de las veces  que intente usar un teléfono. Se estima que la demanda del uso tiene una distribución de Poisson  con una media de  30 llamadas/hr y las llamadas telefónica duran en promedio 5 minutos siguiendo una distribución de exponencial.

¿Cuántas casillas se deben instalar para lograr esto?

4.3 Modelo con  un  canal, un solo servidor y población finita. (M/M/1)  8

[pic 8]

Cuando una población es limitada en cuanto a los clientes, para una instalación de servicio, se necesita considerar un modelo diferente de colas. Este modelo seria usado por ejemplo, si se estuviera considerando la reparación de equipo de una fábrica que tiene 5 máquinas, si se tuviera a cargo el mantenimiento de una flota de 10 aviones para vuelos cortos o si se administra una sala de hospital que tiene 20 camas.

La razón por la que este modelo difiere de los modelos anteriores de colas , es que ahora hay una relación entre la longitud de la cola y la tasa de llegada.

[pic 9]

Ejemplo

Un mecánico atiende a cuatro máquinas. Para cada máquina, el tiempo medio entre requerimiento de servicio es de 10 hrs con una distribución exponencial,  y con un tiempo medio de servicio de 2 hrs. Cuando una máquina queda en reparación  el tiempo perdido tiene un  valor de  20 dólares por hora  y el servicio del mecánico cuesta  50 dólares  por día.

      a) ¿Cual es el número esperado de   máquinas en operación?

1. ¿Cuál es el costo esperado  del tiempo perdido por día?
2. Sería deseable o rentable tener dos mecánicos  para que cada uno atendiera solo dos máquinas.

1. Modelo multicanal con población finita  (M/M/S)   9

 [pic 10]

[pic 11]

Ejemplo

Considere 4 máquinas que están operando en un cierto taller. Muestras tomadas demuestran que una máquina requiere servicio cada  10 horas y las descomposturas describen una distribución exponencial. A un mecánico le lleva 2 horas en arreglar 1 máquina y sigue la misma distribución. Cuando 1 máquina queda en reparación el tiempo perdido tiene un valor de $20.00 por hora y el servicio del mecánico cuesta $50.00 diarios.

Determine el costo del tiempo perdido por día. Si contamos con 2 mecánicos.

EJERCICIOS PROPUESTOS.  MODELOS GENERALIZADOS DE LINEAS DE ESPERA.

1. Debido a un reciente incremento en el negocio, una secretaria de una cierta empresa legal tiene que mecanografiar 20 cartas por día en promedio (asuma una distribución de Poisson). A ella le toma aproximadamente 20 minutos mecanografiar cada carta ( asuma una distribución exponencial). Suponiendo que la secretaria trabaja 8 horas al día;

1. ¿Cuál es la tasa de utilización de la secretaria?
2. ¿Cuál es el tiempo promedio de espera antes de que la secretaria mecanografié una carta?
3. ¿Cuál es el número promedio de cartas que esperan ser mecanografiadas?.
4. ¿Cuál es la probabilidad de que la secretaria tenga más de cinco cartas que mecanografiar?

2. Jack, el veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para perros, en la preparatoria local.  Jack puede vacunar un perro cada 3 minutos.  Se estima que los perros llegarán independiente y aleatoriamente en el transcurso del día, en un rango de un perro cada cuatro minutos, de acuerdo con una distribución de  Poisson.  También suponga que los tiempos de vacunación de Jack están distribuidos exponencialmente.  Encuentre lo que se pide.

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