Modelando Matemáticamente

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Tarea Semana 2:

Modelando Matemáticamente

MII 505 Métodos de Optimización Aplicados

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Desarrollo ejercicio n°1

Formulación y validación

     Considerando que existen 3 tipos de casas que se construirá en la cercanía de un lago escénico; una, dos y tres familias, las cuales deben situarse en un terreno de 800 acres, sin embargo, el nuevo reglamento establece que también debe haber áreas recreativas cada cierto número de familias. Las variables identificadas son:

• X1: Cantidad de casas para una familia.
• X2: Cantidad de casas para dos familias.
• X3: Cantidad de casas para tres familias.
• X4: Cantidad de áreas recreacionales como parque o jardines.

Función Objetivo

     Considerando el rendimiento neto por unidad (casa), por lo que su finalidad es maximizar la cantidad de casas necesarias en el terreno dispuesto, así, la función objetivo será:

Máx. Z = 10.000*X1 + 12.000*X2 + 15.000*X3

     En este caso, la variable X4 no se encuentra en la función objetivo ya que su rendimiento (en cuanto a utilidad) es cero, sin embargo, si se considera en restricciones.

Restricciones

     Las restricciones que indica el problema son:

1.-  Restricción por uso de terreno         

2*X1 + 3*X2 + 4*X3 + 1*X4 ≤ 680

       En esta restricción se basa en la cantidad máxima de acres (superficie) que debe ocuparse para hacer cada casa, y a la vez, cada casa ocupa lotes mínimos de acres de 2, 3 y 4 respectivamente, como también áreas recreacionales que es 1 lote.

2.- Restricción por casa de una familia        

X1  ≥ 0,5 *(X1 +X2 + X3)

      En esta restricción se basa que una casa unifamiliar (una sola familia) debe ser "al menos" el 50% del total de las casas de dos y tres familias.

     Parques y áreas recreacionales        

X4 ≥ (X1 + X2 + X3)/200 (sale algo malo)

     En esta restricción se basa en áreas recreacionales, la cual indica que por cada 200 familias debe haber 1 acre para área de recreación (independiente el tipo de casa; una, dos y tres familias.

3.- Restricción por costo del servicio de agua

        1000*X1 + 1200*X2 + 1400*X3 + 800*X4 ≥  100.000

      En esta restricción se basa en que el costo del servicio de agua  va a depender del tipo de casa (una, dos o tres familias) y en este caso, es el municipio que cobra $100.000 por el proyecto, esto quiere decir, que  depende la cantidad de casas de una, dos o tres familias que se construya, dicho servicio partirá en ese valor, y éste aumentará conforme se sigan construyendo mas casas (depende de cuantas casas de una, dos o tres familias se construyan)

4.- Restricción por consumo de agua 

400*X1 + 600*X2 + 840*X3 + 450*X4  ≤ 200.000

     En esta restricción se basa en el tope máximo que debe llegar el consumo de agua en temporada alta, y además  se estima el consumo diario por cada tipo de casa, sin embargo, no debe sobrepasar ese tope de 200 mil galones por día.

5.- No negatividad                Ninguna variable puede ser menor o igual a cero

                                                X1,X2,X3,X4 ≥ 0

     De lo anterior, se determina que sólo se desarrollará casas unifamiliar y no de dos ni tres familia, a pesar de que éstas tengan mayor rendimiento (en ocasiones, es mejor realizar casas más pequeñas  y , en consecuencia, mas cantidad que realizar casas grandes y de menor cantidad, ya que influye directamente en la rentabilidad del proyecto), en este caso, se determinó que:

X1 = 339,15212 unidades de casa unifamiliar (valor se aproxima a 340 unidades de casas)

X2 = 0 unidades de casa para dos familias

X3 = 0 unidades de casa para tres familias,

     De acuerdo al nuevo reglamento que rigen para dicho proyecto,  cada 200 familias se realizará 1 acre de áreas recreativas, por lo que se estimó que:

X4 = 1,6957606 unidades de áreas recreativas, este valor se aproximará a 2 unidades, las cuales el proyecto debe considerar dos lugares de 1 acre de superficies para zonas recreativas en torno a las casas.

Desarrollo mediante Solver

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Desarrollo ejercicio n°2

     Las variables de este problema, responda a la interrogante de cuántos autobús se requiere para cada turno  mostrada en la gráfica anterior para poder minimizar el uso de autobús y poder  a la vez satisfacer la demanda de pasajeros de la ciudad de Chuchunco, esto quiere decir que existen 6 turnos las cuales salen autobuses que recorren dicha ciudad, por lo tanto:

                X1 = Cantidad de autobús del turno que empieza a las 00:00 horas

                X2 = Cantidad de autobús del turno que empieza a las 4:00 horas

                X3 = Cantidad de autobús del turno que empieza a las 8:00 horas

                X4 = Cantidad de autobús del turno que empieza a las 12:00 horas

                X5 = Cantidad de autobús del turno que empieza a las 16:00 horas

                X6 = Cantidad de autobús del turno que empieza a las 20:00 horas

     Se debe considerar además, que cada turno trabaja 8 horas consecutivas por día y, en consecuencia, en algunos momentos del día habrá más cantidad de autobuses que las considerarás como tope mostrada en el gráfico.

     Dicho lo anterior, las restricciones que se generan es,  los autobuses del turno de las 00:00 horas y el turno de las 04:00 horas son 4 y 8 respectivamente, sin embargo, desde las 04:00 horas inicia un turno con 8 sumado a los que ya habían entrado a las 00:00 habiendo un total de 12 autobuses entre las 04:00 y las 08:00, lo que se repite constantemente durante el día, lo que genera buses que están por sobre la demanda, y por lo tanto, se pide hallar la cantidad mínima de autobuses que debe salir en cada turno para que éstos cumplan con la demanda de pasajeros  y no que estén vacios en específicos momentos porque hay mas buses que pasajeros, por lo tanto la función objetivo que se obtiene a partir de este análisis es:

                F.O. = Minimizar Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6

     Y también puede hallarse las restricciones, las que se hallan  a partir de la cantidad de autobuses que salen de cada turno y la duración del mismo, por lo tanto,

                X1 + X2 ≥ 8

                X2 + X3 ≥ 10

                X3 + X4 ≥ 7

                X4 + X5 ≥ 12

                X5 + X6 ≥ 4

                X6 + X1 ≥ 4

     Con relación a lo anterior, se determinó lo siguiente:

X1 = 2; Se necesitan 2 autobuses que inicien en el turno de las 00:00 horas

X2 = 6; Se necesitan 6 autobuses que inicien en el turno de las 04:00 horas

X3 = 4; Se necesitan 4 autobuses que inicien en el turno de las 08:00 horas

X4 = 6; Se necesitan 6 autobuses que inicien en el turno de las 12:00 horas

X5 = 6; Se necesitan 6 autobuses que inicien en el turno de las 16:00 horas

X6 = 2; Se necesitan 2 autobuses que inicien en el turno de las 20:00 horas

     De esto, se puede decir que se necesitan mínimo 26 autobuses para satisfacer los horarios y turnos  como también la demanda de pasajeros, sin embargo, las horas con mayor cantidad de autobuses se encuentran en el inicio de jornada y final de jornada de trabajo (horas pick), dando coherencia en este caso, en la realidad (horas pick mayor frecuencia, y horas de poco transito menor frecuencia)

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