Origen De La Integral

El origen de la integral:

La primera mitad del siglo XVII

Fermat

Víctor Miguel García Dorado

Nos situamos a comienzos del siglo XVII , justamente después de la aparición del concepto de función, cuando comienza a tomar forma el cálculo, que junto con la geometría analítica es ”la mayor creación de todas las matemáticas”.

En aquella época había cuatro tipos de problemas principalmente:

1). Dada la fórmula de la distancia que un cuerpo recorre como función del tiempo, obtener la velocidad y la aceleración en cada instante; y, al revés, dada la fórmula de la aceleración de un cuerpo como función del tiempo, obtener la velocidad y la distancia recorrida. Este problema surge directamente del estudio del movimiento.

2). Obtener la tangente a una curva, como consecuencia de las aplicaciones de la óptica y el estudio del movimiento.

3). Obtener el valor máximo o mínimo de una función para aplicarlo al problema del tiro parabólico y el estudio del movimiento de los planetas.

4). Obtener longitudes de curvas; las áreas acotadas por curvas; los volúmenes acotados por superficies; los centros de gravedad y la atracción gravitatoria entre cuerpos extensos.

En aquel entonces aun no había constancia de la estrecha relación que hay entre los cuatro problemas.

Nos centraremos en este cuarto problema, y mostraremos los métodos más significativos para resolverlo que utilizaron los predecesores de Newton y Leibniz.

Los griegos ya habían aplicado métodos exhaustivos para el cálculo de áreas y volúmenes. A pesar del hecho de que lo aplicaban para áreas y volúmenes relativamente sencillos, tenían que utilizar mucha ingeniosidad, porque al método le faltaba generalidad, y no obtuvieron respuestas numéricas muy a menudo. Fue con los trabajos de Arquímedes con los que se volvió a despertar en Europa el interés por obtener longitudes, áreas, volúmenes y centros de gravedad. El Método exhaustivo se modifico primero gradualmente, y después radicalmente por la invención del cálculo.

Los trabajos del siglo XVII al respecto de este cuarto problema comienzan con Kepler, de quien se dice que se interesó por el problema de los volúmenes porque notó la falta de precisión de los métodos utilizados por los tratantes de vinos para obtener el volumen de los barriles. Este trabajo (en Stereometria Dolorium) es tosco para los niveles actuales; por ejemplo, el área de un círculo es el área de un número infinito de triángulos, cada uno con un vértice en el centro y una base en la circunferencia. De la fórmula del área de un polígono regular inscrito en una circunferencia, la mitad del perímetro por la apotema, obtenía el área del círculo. De forma análoga, consideraba el volumen de la esfera como la suma de los volúmenes de pequeños conos cuyos vértices están en el centro de la esfera y cuyas bases están en la superficie. Así demostró que el volumen de la esfera es un tercio del radio por la superficie. Consideró el cono como una suma de discos circulares muy estrechos y así pudo calcular su volumen.

Galileo, en Dos nuevas ciencias, concibe las áreas de un modo parecido a Kepler; al tratar el problema del movimiento uniformemente acelerado, presentó un razonamiento para mostrar que el área de la curva tiempo-velocidad es la distancia.

Supongamos que un objeto se mueve con velocidad variable v=32t representado en el dibujo por la recta OB; entonces la distancia recorrida en el tiempo OA es el área OAB. Llegó a esta conclusión considerando, por ejemplo, A´B´ como una velocidad típica en un instante y también como la distancia infinitesimal recorrida, y razonando entonces que el área OAB, que está construida con las líneas A´B´, debe ser, por tanto, la distancia total. Este razonamiento (poco claro) estaba apoyado en la mente de Galileo por consideraciones filosóficas que equivalían a considerar el área OAB como construida con un número infinito de unidades indivisibles como A´B´.

Bonaventura Cavalieri (1598-1647), discípulo de Galileo y profesor en un liceo de Bolonia fue influido por Kepler y Galileo, y fue estimulado por este último para interesarse por problemas del cálculo. Cavalieri desarrolló las ideas de Galileo y otros sobre los indivisibles mediante un método geométrico, y publicó un trabajo sobre el tema, Geometría Indivisibilibus Continuorum Nova quadam Ratione Promota (Geometría superior mediante un método bastante desconocido, los indivisibles de los continuos, 1635). Considera un área como constituida por un número indefinido de rectas paralelas y equidistantes y un volumen como compuesto por un número indefinido de áreas planas paralelas; a estos elementos los llama los indivisibles de área y volumen respectivamente. En líneas generales los indivisibilistas mantenían, como expresa Cavalieri en sus Exercitationes Geometricae Sex (1647), que una línea está hecha de puntos como una sarta de cuentas; el plano está hecho de líneas, como un tejido de hebras y un sólido de áreas planas como un libro de hojas, sin embargo aceptaban un número infinito de elementos constituyentes.

El método o principio de Cavalieri puede ilustrarse mediante la proposición siguiente que, por supuesto puede, demostrarse de otras formas. Para demostrar que el paralelogramo ABCD tiene área doble que cualquiera de los triángulos ABD o BCD, hace notar que cuando GD=BE, se tiene que GH=FE.

Por tanto los triángulos ABD y BCD están constituidos por igual número de líneas iguales, tales como GH y EF, y por tanto tienen que tener áreas iguales.

Este mismo principio está incluido en la proposición que se enseña actualmente en los libros de geometría de sólidos y que se conoce como teorema de Cavalieri. Con este método encontró el área acotada bajo funciones del tipo para n=1,2,3,4,5,6,9. Pero sin embargo, su método era enteramente geométrico.

En 1634, Roberval, utilizó esencialmente el método de los indivisibles para obtener el área encerrada bajo un arco de cicloide, un problema

...