PROBABILIDAD

PROBABILIDAD

a) Conceptos Básicos

Mide la longitud y fuerza con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) luego de llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.

La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q:

b) Funciones de Probabilidad

En teoría de la probabilidad, una función de probabilidad o función de masa de probabilidad, es una función que asocia a cada punto de su espacio muestral X la probabilidad de que ésta lo asuma.

En concreto, si el espacio muestral, E de la variable aleatoria X consta de los puntos x1, x2, ..., xk, la función de probabilidad P asociada a X es:

Donde pi es la probabilidad del suceso X = xi.

Por definición de probabilidad,

b1) Regla de la Suma

• Para sucesos mutuamente excluyentes:

P (A O B) = P (A) + P (b)

• Para sucesos que no son mutuamente exclusivos:

P (A O B) = P (A) + P (B) – P (A y B)

 EJEMPLOS

I. Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a. La primera semilla sea roja?

b. La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?

Solución:

a. La probabilidad de que la primera semilla sea roja es , puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos:

b. La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por

Esta probabilidad , puesto que todavía hay 5 semillas blancas en un total de 14 restantes.

II. Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?

Solución: El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces es

S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres lanzamientos es:

A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa}

El evento B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa}

Por lo tanto, AÇ B ={aaa} y

De donde

Nótese que es la probabilidad de una ocurrencia en las siete que son posibles en A; es decir, calcular la probabilidad condicional de B dado A es como calcular la probabilidad de B con relación al conjunto A, como si éste fuera un nuevo espacio muestra S* = A.

b2) Regla de la multiplicación

• Para sucesos independientes:

P (A y B) = P (A) x P (B)

• Para sucesos dependientes:

P (A y B) = P (A) x P (BIA)

 EJEMPLOS

I. Si se responden al azar cuatro preguntas con cinco opciones cada una, ¿cuál es la probabilidad de acertar a todas?

La probabilidad de

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