Probabilidades

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

“RAFAEL MARIA BARALT”

CÁTEDRA: ESTADÍSTICA

PROFESOR: Lic. Nelson J. Díaz V.

Probabilidades

Definiciones Fundamentales.

• Experimento Aleatorio: Es aquel fenómeno del cual no se pueden predecir los resultados con exactitud ya que dependen del azar, se denota E(X).

Ejemplo: E(X)= El lanzamiento de una moneda.

E(X)= El número que sale en el lanzamiento de un dado.

E(X)= La reacción de un cliente ante una oferta.

• Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, se denota con la letra S(x).

Ejemplo: S(x)= {cara, sello}

S(x)= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

S(x)= {compra, no compra}

• Probabilidad: En un proceso aleatorio, razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Se denota P(x). Se puede calcular a través de la siguiente expresión:

, así, la probabilidad de obtener una cara en el lanzamiento de una moneda será:

• Probabilidad Marginal o Incondicional: Es el caso en el cual ocurra un solo evento. Ejemplo: La probabilidad de que en el lanzamiento de un dado salga un tres (3):

• Probabilidad Conjunta: Es aquella situación donde ocurran dos o mas eventos simultáneamente. Ejemplo La probabilidad de que en dos alumnos tomados al azar salga una hembra y un varón. (Si hay 5 hembras y 3 varones)

• Probabilidad Condicional: Es la probabilidad de que ocurra un evento, dado que ya ocurrió otro. Ejemplo: La probabilidad de que una carta sea negra (trébol o picas) es 0,50 y la probabilidad de un As negro (trébol o picas) es 0,038, entonces la probabilidad de extraer un as dado que salió una carta negra será:

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

Sea P(x) la probabilidad de un evento x, su valor será un número comprendido entre 0 y 1, es decir,

0 ≤ P(x) ≤ 1

La sumatoria de la probabilidad de todos los eventos posibles es siempre igual a la unidad.

Si es la probabilidad de ocurrencia del evento x, y es la probabilidad de que dicho evento no ocurra, la sumatoria de estas probabilidades es igual a la unidad, esto es:

REGLAS DE PROBABILIDAD.

Regla de la Adición.

Esta regla se refiere al caso de que ocurra un evento o que ocurra otro o que ocurran ambos inclusive. Para aplicar esta regla se hace necesario definir si los eventos involucrados son Mutuamente Excluyentes o por el contrario, Mutuamente No Excluyentes. Dos eventos son Mutuamente Excluyentes, si la ocurrencia de uno implica la no ocurrencia del otro. Ejemplo: Que salga cara implica la no ocurrencia de que salga sello, la ocurrencia del evento que un alumno sea varón, implica la no ocurrencia de que se de el evento que sea hembra, la ocurrencia del evento pieza buena, implica la no ocurrencia del evento pieza defectuosa, etc. En el caso de los eventos Mutuamente Excluyentes, la regla de la adición es:

Ejemplo: En dos lotes de 1000 compresores de aire acondicionado cada uno, hay 5 unidades defectuosas en el primero y 10 en el segundo. ¿Cuál será la probabilidad de sacar una pieza defectuosa del lote A o del lote B?

=0,005

=0,01

Los eventos son Mutuamente Excluyentes (se pregunta ¿El hecho de sacar una pieza defectuosa del lote A, impide sacar una pieza defectuosa del lote B? La respuesta es si, al sacar una pieza del lote A, automáticamente las piezas del lote B quedan excluidas, es decir, no existe una pieza que sea del lote A y del lote B simultáneamente)

Dos o más eventos son Mutuamente No Excluyentes, si la ocurrencia de uno no impide la ocurrencia de otro, o dicho de otra forma, si existen elementos que tienen características comunes. En este caso, se debe restar la probabilidad de estos elementos comunes para no incurrir en un error y la regla de la adición es:

Ejemplo: En una agencia automotriz llegó un lote de 20 automóviles, de los cuales, 8 son azules, 10 tienen tapicería de tela y 3 son azules con tapicería de tela. ¿Cuál será la probabilidad de escoger un vehiculo azul o con tapicería de tela?

Los eventos son Mutuamente No Excluyentes (se pregunta ¿El hecho de sacar un auto azul, impide sacar uno con tapicería de tela? La respuesta es negativa, es decir, que existen automóviles que son azules y además, tienen tapicería de tela)

Regla del Producto.

Esta regla se refiere al caso de que ocurra un evento y que ocurra otro simultáneamente, es decir, es la probabilidad de dos o más eventos conjuntos. Para aplicar esta regla se hace necesario definir si los eventos involucrados son Independientes o por el contrario, Dependientes. Dos eventos son Independientes si la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro, así por ejemplo, los siguientes eventos son independientes: Los resultados del lanzamiento de dos monedas, la selección de dos alumnos de secciones distintas, la selección de dos piezas de lotes diferentes, etc. En este caso, la regla del producto es:

Ejemplo: En una prueba de aptitud se tiene que la probabilidad de aprobar dicha prueba en el grupo A es de 0,66 en tanto para el grupo B esta probabilidad es de 0,58. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un alumno de cada sección y que estos salgan aplazados?

Los eventos son Independientes (Se pregunta ¿El hecho que un alumno salga aplazado en el grupo A afecta o influye en que salga aplazado un alumno del grupo B? La respuesta es no, ya que la calificación que saque un alumno del grupo A depende de factores que afectan a ese grupo únicamente.

Dos eventos son Dependientes si la ocurrencia de uno afecta la ocurrencia del otro, en este caso es oportuno introducir el concepto de Probabilidad Condicional que consiste en la probabilidad de que ocurra un evento dado que ya haya ocurrido otro, se denota P(A/B) y se lee “Probabilidad del evento A, dado que ocurrió el evento B” y su expresión matemática es:

,

así por ejemplo, los siguientes eventos son dependientes: Los eventos donde se seleccionan elementos sin reemplazo, la selección de dos alumnos de una misma sección, la selección de dos piezas de un mismo lote, etc. En este caso, la regla del producto es:

Ejemplo: En un lote de 1000 equipos electrónicos, hay 5 relojes/calculadora y 495 calculadoras y 500 relojes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos piezas (sin reemplazo) y tener la primera reloj y la segunda una calculadora?

Los eventos son Dependientes (Se pregunta ¿El hecho que salga un reloj afecta o influye en que salga una calculadora? La respuesta es si, ya que al extraer el primer artículo, se afecta la cantidad de artículos en el lote (uno menos = 999) en consecuencia el total de eventos posibles del experimento se reduce haciendo mas probable la ocurrencia del segundo evento.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Indique en cada caso el Espacio Muestral (S(x)) de los siguientes experimentos:

a. Lanzar una pelota de básquet ball al aro.

b. Inspeccionar una pieza en la línea de producción.

c. Un examen de estadística.

d. La declaración de un pretendiente. e. Jugar un Terminal.

f. Un juego de bingo.

g. Sacar una bolita de una caja (numeradas del 1 al 25)

h. Correr los 100 metros planos en los Juegos Bolivarianos.

2. En una carrera de caballos en el hipódromo de Santa Rita corren 12 caballos, calcular la probabilidad de:

a. Que gane el número 6.

b. Que no gane el número 6.

c. Que gane un caballo con un número mayor que 8.

d. Que gane un caballo con un número menor que 5. e. Que gane un caballo con un número entre 5 y 8 (ambos inclusive).

f. Que no ganen los caballos del punto c.

g. Que no ganen los caballos del punto d.

h. Que no ganen los caballos del punto e.

3. En la Planta de Tratamiento de Aguas Servidas de Cabimas hay 3 cuadrillas de trabajadores, la probabilidad de que un trabajador falte a su trabajo un día cualquiera es: Cuadrilla A = 0,02, Cuadrilla B = 0,08 y Cuadrilla C = 0,12. Calcular la probabilidad de:

a. Que no falte ningún trabajador de la Cuadrilla A.

b. Que falte un trabajador de la Cuadrilla A o de la Cuadrilla B.

c. Que falte un trabajador de la Cuadrilla A o de la Cuadrilla C.

d. Que falte un trabajador de la Cuadrilla B o de la Cuadrilla C. e. Que no falte un trabajador de la Cuadrilla A o de la Cuadrilla B.

f. Que no falte un trabajador de la Cuadrilla B o de la Cuadrilla C.

g. Que no falte un trabajador de la Cuadrilla A o de la Cuadrilla C.

h. Que falte un trabajador de la Cuadrilla A o no falte un trabajador de la Cuadrilla B.

4. La tienda de insumos agropecuarios “La Hacienda” tiene ventas a crédito, al contado y una parte a crédito y otra al contado, la probabilidad de tener cada una de las modalidades de venta es: contado 0,60; crédito 0,25 y ambas 0,15. Calcular la probabilidad de:

a. Que no se haga una venta al contado.

b. Que no se haga una venta a crédito.

c. Que no se haga una venta bajo ambas modalidades.

d. Que se haga una venta al contado o una venta a crédito.

e. Que no se haga una venta al contado o se haga una venta a crédito.

f. Que se haga una venta al contado o no se haga una venta a crédito.

g. Que no se haga una venta al contado o no se haga una venta a crédito.

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