Problemas de distribución

PROBLEMAS DE DISTRIBUCIONES MUESTRALES

Distribuciones muéstrales de medias

[pic 1]

1. Si de una población normal, con media  µ= 1.2 [pic 2] y desviación estándar de σ = 1.2, se selecciona una muestra aleatoria de  tamaño n=35, encuentre la probabilidad de que la media se menor que uno.  Sol.[pic 3]
2. El tiempo que el cajero de un banco con servicio en el automóvil, atiende a un cliente es una variable aleatoria con media [pic 4]=3.2 minutos y una desviación estándar [pic 5]=1.16 minutos. Si se observa una muestra aleatoria de 64 clientes, encuentre la probabilidad de que su tiempo medio con el cajero sea:

        a) a lo más 2.7 minutos   Sol.[pic 6]

        b) más de 3.5 minutos Sol.[pic 7]

            c) al menos 3.2 minutos pero menos de 3.4 minutos. Sol.[pic 8]

1. La vida media de una máquina para hacer pastas es de 7 años, con una desviación estándar de 1 año. Suponga que las vidas medias de estas máquinas siguen una distribución aproximadamente normal, encuentre la probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de 9 de estas máquinas caigan entre 6.4 y 7.2 años.   Sol.[pic 9]

1. Un inspector de pesos y medidas visita una planta de empacado para verificar que el peso neto de las cajas sea el indicado en éstas, el gerente de la planta asegura al inspector que el peor promedio de cada caja es de 750 gr., con una desviación estándar de 5 gr. El inspector selecciona al azar 100 cajas y encuentra que el peso promedio es de 748 gr. Bajo estas condiciones, ¿qué tan probable es tener un peso promedio de 748 o menos?  ¿Qué actitud debe tomar el inspector?       Sol.[pic 10] 

1. Para evitar problemas con las autoridades, un productor de golosinas desea estar razonablemente seguro de que las bolsas de gomitas, que él vende, contienen 100 gramos. Los registros de la maquina empacadora señalan que los pesos de llenado de las bolsas se distribuyen aproximadamente como normal con desviación estándar de 5 gramos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsita pese menos de 95 gramos?   Sol.  p (x<95)= 0.1587                      

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el contenido promedio de 10 bolsitas seleccionadas al azar sea menor a 95 gramos? Sol.  [pic 11]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el contenido promedio de 25 bolsitas escogidas al azar sea menor de 95 gramos? Sol.  [pic 12]

d) Si al tomar una muestra aleatoria de 25 bolsitas el contenido promedio de estas fuera 97 gramos, ¿debería de preocuparse el productor de  golosinas? Sol.  [pic 13]

Conclusión: el productor no tiene que preocuparse ya que eso no sucederá    

1. De qué tamaño debe ser seleccionada una muestra para que la desviación estándar de la media muestral   [pic 14][pic 15]  sea:

a) 1/4de la desviación estándar de la población.    Sol.   [pic 16][pic 17]

b) 1/8 de la desviación estándar de la población. .    Sol.   [pic 18]n = 64

 c) 15%  de la desviación estándar de la población. .    Sol.   n = 44.4[pic 19]

1. Las alturas de los estudiantes varones de una preparatoria siguen una distribución aproximadamente normal con media 1.75 m y desviación estándar 0.04m. Si se toma una muestra aleatoria de 5 estudiantes para formar un equipo de básquetbol, ¿Cuál es la probabilidad de que la altura promedio de los integrantes del equipo sea mayor a 1.80 m? Sol.  [pic 20] 

1. Ciertos tubos producidos por una compañía tienen una duración media de 900 horas y una desviación típica de 80 horas. La compañía despacha 1000 lotes de 100 tubos cada uno. ¿En cuántos lotes cabe esperar que (a) la media de las duraciones sobrepase las 910 horas, (b) la desviación típica de las duraciones sobrepase las 95 horas? ¿Qué supuestos deben hacerse?

1. Para evitar problemas con las autoridades, un productor de golosinas desea estar razonablemente seguro de que las bolsas de gomitas, que él vende, contienen 100 gramos. Los registros de la maquina empacadora señalan que los pesos de llenado de las bolsas se distribuyen aproximadamente como normal con desviación estándar de 5 gramos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsita pese menos de 95 gramos?   Sol.  p (x <95)= 0.1587                      

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el contenido promedio de 10 bolsitas seleccionadas al azar sea menor a 95 gramos? Sol.  [pic 21]

1. La variable aleatoria X, que representa el número de cerezas en una empanada, tiene la siguiente distribución de probabilidad:

1. Encuentre la media μ y la varianza σ de X:   Sol. μ =E(X)=5.3, σ2 = 0.81

1. Encuentre la media [pic 22][pic 23] y la varianza [pic 24][pic 25]de la media [pic 26][pic 27] para muestras aleatorias de 36 empanadas de cerezas. Sol. [pic 28][pic 29]5.3,     [pic 30]

1. Encuentre la probabilidad de que el número promedio de cerezas en 36 empanadas sea menor que 5.5

         Sol.  [pic 31]

Distribuciones muestrales de diferencia de medias

1. Una muestra aleatoria de tamaño 25 se toma de una población normal que tiene una media de 80 y una desviación estándar de 5. Se toma una segunda muestra aleatoria de tamaño 36 de una población normal diferente que tiene una media de 75 y una desviación estándar de 3. Encuentre la probabilidad de que la media muestral calculada de las 25 mediciones exceda la media muestral calculada de las 36 mediciones entre 3.4 y 5.9 inclusive.   Sol.[pic 32]

1. La calificación promedio para estudiantes de primer año en una prueba de aptitudes, en cierta universidad, es 540, con una desviación estándar de 50. ¿Cuál es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes seleccionados aleatoriamente, consistentes en 32 y 50 estudiantes, respectivamente, difiera en sus calificaciones promedio por...?

        a) más de 20 puntos

        b) una cantidad entre 5 y 10 puntos

1. A y B fabrican dos tipos de cables, que tienen unas resistencias medias a la rotura de 4000 y 4500 libras con desviaciones típicas de 300 y 200 libras, respectivamente. Si se comprueban 100 cables de A y 50 cables de B, ¿Cuál es la probabilidad de que la media de resistencia a la rotura de B sea (a) al menos 600 libras más que A (b) al menos 450 libras más que A?  Sol.[pic 33]

Distribuciones muestrales de proporciones

1. Se ha determinado que 60% de los estudiantes de una universidad grande fuman cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 800 estudiantes. Calcule la probabilidad de que la proporción de la muestra de la gente que fuma cigarrillos sea menor que 0.55.

1. Resolverlo mediante la aproximación de la normal a la binomial Sol. [pic 34]
2. Resolverlo con la distribución muestral de proporciones Sol. [pic 35]

1. Se sabe que la verdadera proporción de los componentes defectuosos fabricados por una firma es de 4%, y encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 60 tenga

1. Menos del 3% de los componentes defectuosos. Sol. [pic 36]
2. Más del 1% pero menos del 5% de partes defectuosas. Sol. [pic 37]

1. Un fabricante despacha 1000 lotes de 100 bombillas cada uno. Si normalmente el 5% de las bombillas es defectuoso, ¿En cuántos lotes cabe esperar (a) al menos de 90 bombillas buenas, (b) 98 o más bombillas buenas?
2. De un total de 1000 muestras de 200 niños cada una, ¿En cuántas cabe esperar que (a) menos del 40% sean niños, (b) entre el 40% y el 60% sean niñas, (c) el 53% o más sean niñas?

1. Los resultados de una elección mostraron que un cierto candidato recibió el 65% de los votos. Hallar la probabilidad de que en dos muestras al azar compuestas cada una de 200 votantes, haya una diferencia superior al 10% en las proporciones que votaron a dicho candidato.

1. Ciertos tubos producidos por una compañía tienen una duración media de 900 horas y una desviación típica de 80 horas. La compañía despacha 1000 lotes de 100 tubos cada uno. ¿En cuántos lotes cabe esperar que (a) la media de las duraciones sobrepase las 910 horas, (b) la desviación típica de las duraciones sobrepase las 95 horas? ¿Qué supuestos deben hacerse?

1. En una ciudad las puntuaciones de un examen se distribuyen normalmente con media 72 y desviación típica 8 (a) hallar la puntuación mínima del 20% superior de los estudiantes (b) hallar la probabilidad de que en una muestra al azar de 100 estudiantes la puntuación mínima del 20% superior sea menor de 76 puntos.
2. Para evitar problemas con las autoridades, un productor de golosinas desea estar razonablemente seguro de que las bolsas de gomitas, que él vende, contienen 100 gramos. Los registros de la maquina empacadora señalan que los pesos de llenado de las bolsas se distribuyen aproximadamente como normal con desviación estándar de 5 gramos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsita pese menos de 95 gramos?   Sol.  p (x<95)= 0.1587                      

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el contenido promedio de 10 bolsitas seleccionadas al azar sea menor a 95 gramos? Sol.  [pic 38]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el contenido promedio de 25 bolsitas escogidas al azar sea menor de 95 gramos? Sol.  [pic 39]

d) Si al tomar una muestra aleatoria de 25 bolsitas el contenido promedio de estas fuera 97 gramos, ¿debería de preocuparse el productor de  golosinas? Sol.  [pic 40]

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