Propiedades De Los Determinantes

Propiedades de los determinantes

Si hay algo que nos caracteriza a los matemáticos es que somos muy vagos. Por eso siempre estamos pensando cosas para tener que trabajar lo mínimo posible. Muchos teoremas, fórmulas y propiedades que utilizamos nos sirven para hacer los cálculos de una forma más simple y rápida.

Como verás en este apartado, hay muchas propiedades que nos permiten saber el valor de un determinante de una forma mucho más fácil que la que hemos visto hasta ahora, a veces, de un sólo golpe de vista. Las propiedades que vamos a ver no solamente nos permitirán simplificar el cálculo, si no que harán posible que podamos hallar determinantes de orden superior, para los que ya no hay una regla como en el caso de orden 2 y 3.

En todo este apartado, vamos a enunciar las propiedades y poner un ejemplo numérico, con determinantes de orden 2 o 3, de lo que quiere decir cada una de ellas. Pero debes tener en cuenta, y esto es muy importante, que aunque el ejemplo sea de orden 2 o 3, estas propiedades se cumplen para determinantes de cualquier orden.

Cuando dé igual trabajar por filas que por columnas utilizaremos el término línea.

1) El determinante de una matriz es igual que el de su matriz traspuesta, es decir, .

2) Si intercambiamos dos líneas de un determinante, el determinante cambia de signo, aunque vale lo mismo en valor absoluto.

Recuerda lo que dijimos en el párrafo de introducción sobre las propiedades que se cumplen tanto para las filas como para las columnas: en esos casos hablaremos en el enunciado de la propiedad de líneas. Eso quiere decir, por ejemplo en el caso que nos ocupa, que también ocurriría el cambio de signo si en vez de intercambiar dos filas lo que hubiesemos hecho es intercambiar dos columnas.

3) Un determinante con una línea formada por ceros es siempre nulo.

¿Recuerdas que dijimos que al desarrollar un determinante en todos los productos había un elemento de cada fila y de cada columna? Pues por eso un determinante donde una fila (o columna) sea entera de ceros hace que en todos los productos aparezca un cero y por tanto es nulo. Escribe un determinante de orden tres con esa característica y compruébalo.

4) Un determinante con dos líneas paralelas (distintas) iguales vale cero.

Esta propiedad es consecuencia de la segunda y puedes ver un ejemplo en la última autoevaluación que hiciste en el apartado anterior.

5) Si multiplicamos una línea de un determinante por un número, el valor del determinante queda multiplicado por ese número.

Como consecuencia de esta propiedad, si una línea es múltiplo de un número, podemos sacar factor común ese número y simplificar la línea. Y si multiplicamos un determinante por un número, sólo se multiplica una línea de ese determinante, a diferencia de lo que pasaba en las matrices.

Comprueba tu mismo que se cumplen las igualdades .

6) Si en un determinante, dos líneas paralelas (distintas) son proporcionales, el determinante es nulo.

Esta propiedad es consecuencia de dos de las anteriores. Vamos a

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