Propiedades De Los Determinantes

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Los determinantes tiene muchas propiedades especiales, alguna de la cuales las enunciamos aquí:

Sea A una matriz cuadrada

1) Si toda entrada en una fila (o columna) es cero entonces .

2) Si una matriz B se forma intercambiando dos fila (o columnas) de A, entonces .

3) Si una matriz B se forma multiplicando cada entrada en una fila ( o columna) de A por un número real k, entonces .

4) Si dos filas (o columnas) de una matriz A son iguales, entonces

5) Si una matriz B se forma remplazando cualquier fila (o columna) de A por la suma de esa fila (o columna) y k veces cualquier otra fila (o columna) de A, entonces

Ejemplos:

- Sin desarrollas de deduce “Si toda entrada en una fila (o columna) es cero entonces .”

- Se deduce “Si una matriz B se forma intercambiando dos fila (o columnas) de A, entonces ”.

- Se factoriza dos de cada entrada de la primera fila “Si una matriz B se forma multiplicando cada entrada en una fila ( o columna) de A por un número real k, entonces ”.

- Como la primera y segunda columna son iguales entonces se deduce “Si dos filas (o columnas) de una matriz A son iguales, entonces ”

EJERCICIOS I

En los siguientes problemas establezca por qué la igualdad es verdadera sin calcular los determinantes dados.

1) 2) 3)

4) 5)

6) 7)

8)

USO DE TRANSFORMACIONES DE RENGLON Y COLUMNA

Encuentra si

Ahora vamos a proceder a transformar renglón y columna de manera de introducir 0.

Es importante encontrar donde hay un 1 porque esto evita el uso de fracciones. Si no hay 1 en la matriz original utilizando los teoremas:

Si una matriz B se forma multiplicando cada entrada en una fila ( o columna) de A por un número real k, entonces .

Si una matriz B se forma remplazando cualquier fila (o columna) de A por la suma de esa fila (o columna) y k veces cualquier otra fila (o columna) de A, entonces .

En esta matriz tenemos 1 en la primera columna entonces:

- 2 0 4 - 6

2 3 0 4

0 3 4 - 2

3 0 - 6 9

- 3 2 0 - 5

0 2 - 6 4

Ahora calculo el determinante por la columna 1 así:

Ahora convierto en 0 el 5 así: 5 C2 + C1 C1

20 - 5 - 30

3 5 2

23 0 - 28

Ahora convierto en 0 el 6 así: 6 C2 + C3 C3

24 - 6 - 36

- 2 6 4

22 0 - 32

Ahora calculo el determinante por la fila 2 así:

EJERCICIOS II

En los siguientes ejercicios encuentra la determinante de la matriz después de introducir ceros como en el ejemplo anterior.

...