Propiedades del estimador

 Propiedades del estimador

Sesgo

Artículo principal: Sesgo estadístico

Se denomina sesgo de un estimador a la diferencia entre la esperanza (o valor esperado) del estimador y el verdadero valor del parámetro a estimar. Es deseable que un estimador sea insesgado o centrado, es decir, que su sesgo sea nulo por ser su esperanza igual al parámetro que se desea estimar.

Por ejemplo, si se desea estimar la media de una población, la media aritmética de la muestra es un estimador insesgado de la misma, ya que su esperanza (valor esperado) es igual a la media de la población.

En efecto, si una muestra X=(X1,X2,...,Xn)t procede de una población de media μ, quiere decir que:

[pic 1] para cualquier i=1...n

La media aritmética o media presupuestal,

[pic 2], con lo que, al aplicar las propiedades de linealidad de la esperanza matemática se tiene que:

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

Eficiencia[editar]

Artículo principal: Eficiencia (estadística)

Diremos que un estimador es más eficiente o más preciso que otro estimador, si la varianza del primero es menor que la del segundo. Por ejemplo, si [pic 6] y [pic 7] son ambos estimadores de [pic 8] y

[pic 9]

diremos que [pic 10] es más eficiente que [pic 11]. Un estimador es más eficiente (más preciso), por tanto, cuanto menor es su varianza.

La eficiencia de los estimadores está limitada por las características de la distribución de probabilidad de la muestra de la que proceden. El teorema de Cramér-Rao determina que la varianza de un estimador insesgado [pic 12] de un parámetro [pic 13] es, como mínimo,

[pic 14]

donde [pic 15] es la función de densidad de probabilidad de la muestra [pic 16] en función del parámetro [pic 17], (denominada función de verosimilitud). Si un estimador insesgado alcanza esta cota mínima, entonces se dice que el estimador es de mínima varianza dentro de los estimadores insesgados, pudiendo existir estimadores sesgados con varianza menor.

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