TEORIA DE LOS EXPONENTES

Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que existen entre ellas, mediante leyes.

Potenciación: Es la operación que consiste en repetir un numero denominado base, tantas veces como factor, como lo indica otro número que es el exponente, el resultado de este se le denomina exponente.

An = (AxAxAxAx...xA) "n" veces

Producto de bases iguales: El producto de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los correspondientes exponentes. Se coloca la misma base y se suman los exponentes:

A m x A n = A m + n

92 x 93 = 92+3 = 95

El exponente cero “o”: Proviene de dividir potencias iguales de la misma base.

a2 ÷ a2 = a2-2 = a0 / x5 ÷ x5 = x5-5 = x0

Interpretación del exponente cero: Toda cantidad elevada a cero vale 1.

Ao= 1

Según las leyes de la división, [an ÷ an = an-n = a0], y otra parte, como toda cantidad dividida por sí misma es igual a 1, se tiene [an ÷ an = 1].

Entonces: dos cosas (a0 y 1). Iguales a una tercera (an ÷ an) son iguales entre sí.

Exponente fraccionario: El exponente fraccionario proviene de extraer una raíz a una potencia cuando el exponente de la cantidad sub-radical no es divisible por el índice de la raíz.

Sabemos que para extraer una raíz a una potencia se divide el exponente de la potencia por el índice de la raíz. Si el exponente no es divisible por el índice, hay que dejar indicada la división y se origina el exponente fraccionario.

Interpretación: Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario equivale a una raíz cuyo índice es el denominador del exponente y la cantidad sub-radical la misma cantidad elevada a la potencia que indica el numerador del exponente.

Exponente Negativo: El exponente negativo proviene de dividir dos potencias de la misma base cuando el exponente del dividendo es menor que el exponente del divisor.

Interpretación: Toda cantidad elevada a, un exponente negativo equivale a una fracción cuyo numerador es 1, y su denominador, la misma cantidad con el exponente positivo.

Pasar Los Factores Del Numerador De Una Expresión Al Denominador O Viceversa: Cualquier factor del numerador de una expresión se puede pasar al denominador y viceversa con tal de cambiarle el signo al exponente.

En la igualdad (1) vemos que los factores a-2 y b-3 están en el numerador del primer miembro con exponentes negativos, pasan al denominador del segundo miembro con exponentes positivos y los factores x-4 e y-5 que están en el denominador del primer miembro con exponentes negativos, pasan al numerador del segundo con exponentes positivos.

En la igualdad (2) vemos que los factores x4 e y5 están en el numerador del primer miembro con exponentes positivos, pasan al denominador del segundo miembro, con exponentes negativos y los factores a2 y b3 que están en el denominador del primer miembro con exponentes positivos, pasan al numerador del segundo con exponentes negativos.

Cocientes de bases iguales: La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos. Se coloca la misma base y se restan los exponentes.

LEYES DE LOS EXPONENTES

1.- El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces.

2.- Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir.

3.- Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raíz n-ésima:

Ley Ejemplo

x1 = x 61 = 6

x0 = 1 70 = 1

x-1 = 1/x 4-1 = 1/4

xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = x5

xm/xn = xm-n x4/x2 = x4-2 = x2

(xm)n = xmn (x2)3 = x2×3 = x6

(xy)n = xnyn (xy)3 = x3y3

(x/y)n = xn/yn (x/y)2 = x2 / y2

x-n = 1/xn x-3 = 1/x3

La potenciación, como expresión algebraica, la conforman los siguientes elementos:

a = base m = exponente b = potencia

Primera ley: Producto de potencias con la misma base.

El producto de potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.

Segunda ley: Cociente de potencias con la misma base.

Por la definición de potencia se tiene:

Al cancelar factores iguales queda:

El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes.

Todo número exponente negativo es igual a su inverso con exponente positivo.

Tercera ley: Potencia de una potencia:

Por la definición de potencia se tiene:

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