TEORÍA DE CONJUNTOS CONOCIMIENTOS BÁSICOS
Enviado por Elizabeth Buendia • 10 de Septiembre de 2017 • Apuntes • 2.178 Palabras (9 Páginas) • 256 Visitas
Liceo Nº 35, "Instituto Dr. Alfredo Vázquez Acevedo". Nocturno.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]
Matemática. 5º B1 - B2 y 5ª H3. Profesora María del Rosario Quintans
TEORÍA DE CONJUNTOS
CONOCIMIENTOS BÁSICOS
Cuando decimos: "un elemento pertenece a un conjunto" estamos utilizando tres conceptos primitivos: elemento, conjunto y pertenencia. Un concepto primitivo es un concepto que no se define.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la
relación de pertenencia: a ∈ A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a ∉ A.
Ejemplos de conjuntos:
∅: el conjunto vacío, que carece de elementos. N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q : el conjunto de los números racionales. R: el conjunto de los números reales.
C: el conjunto de los números complejos.
Se puede definir un conjunto:
por extensión o enumeración, esto es nombrando todos y cada uno de sus elementos.
por comprensión, diciendo cuál es la propiedad o condición que los caracteriza.
Axioma: Un conjunto A está determinado cuando, dado un elemento cualquiera x, es posible decidir si pertenece o no al conjunto.
Un conjunto se suele denotar encerrando entre paréntesis llaves a sus elementos, si se define por extensión y, si se define por comprensión, entre paréntesis llaves se indica la propiedad que caracteriza a sus elementos. Por ejemplo:
A = {1,2,3, ... ,n}
B = {p: p ∈ Z ∧ p es par}
1
. | 2 |
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota:
A ⊆ B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, ∀a se cumple que a ∈ A y a ∈ B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B,
si simultáneamente A ⊂ B y B ⊂ A; esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se demuestra: ∅ ⊂ | A y A ⊂ A. | |
A es un subconjunto propio | de B, o una parte | propia de B, |
si A ⊂ B y A ≠ B. Esto es, | ∀a ∈ A ⇒ a ∈ B y ∃ b ∈ B / b ∉ A. y se | |
denota: A ⊂ B. |
Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, se suele considerar al conjunto U como conjunto universal o de referencia.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno
dado A | se llama | familia de partes de A y se denota P(A). |
Entonces, la | relación B ⊂ A es equivalente a decir que | |
B∈ P(A). Ejemplos: | ||
Si | A = | {a, b} entonces P(A) = {∅ ,{a},{b},{a, b}}. |
Si | a ∈ A entonces {a} ∈ P(A). |
El número de subconjuntos de un conjunto A, es 2n; siendo n el número de elementos del conjunto A. ¿Cuál es el número de elementos del conjunto P(A)?
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A ó de B, este conjunto se expresa: A ∪ B = { x | x ∈ A y/ó x ∈ B}.
Ejemplo: Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y
B = {a, h, j}.
A ∪ B es el conjunto {a, b, c, d, e, f, h, j}.
2
. | 3 |
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, este conjunto se expresa: A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}.
Ejemplo: 1) Sean los conjuntos A ={a, b, c, d, e, f} y
B = {a, h, j}. A ∩ B = {a}.
2) C = { d, e, f, g, h} y D = {p, q, r} entonces
C ∩ D = {}. Si la intersección de dos conjuntos es el conjunto vacío diremos que los conjuntos son disjuntos.
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