Transformaciones geométricas y lineales

   UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SINALOA[pic 1][pic 2]

FACULTAD DE INGENIERIA CULIACAN 

INGENIERIA EN PROCESOS INDUSTRIALES

ALGEBRA LINEAL

Trabajo complementario.

NOMBRE: Abelardo Rodríguez leal

NOMBRE PROF.: Laura Bonilla Ramos.

GRADO GRUPO Y TURNO: 1-1 matutino

Miércoles/25/junio/2014

INDICE.

Transformaciones geométricas……………………………………………………….3

¿Qué operaciones se pueden realizar con transformaciones lineales………...3

¿Qué es una composición de transformaciones lineales……………………..…4

Definición de transformación inversa……………………………………………….5

Definición de valores y vectores característicos……………………………….…6

Matrices semejantes……………………………………………………………………7

Diagonalización………………………………………………………………………….8

Valores y Vectores propios de una matriz simétrica……………………………..9

Formas cuadráticas en R2 y R3……………………………………………………...10

TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS.

Una transformación geométrica es una aplicación en donde cada punto del plano corresponde otro punto del plano. Consecuencia de esto las figuras se transforman en otra figura.

Las más comunes y usadas son: las translaciones, rotaciones, simetrías y las homotecias. Todas mantienen las mismas formas en las figuras, pero varían en tamaño y posición.

EJEMPLO DE HOMOTECIA:

[pic 3]

¿QUÉ OPERACIONES SE PUEDEN REALIZAR CON TRANSFORMACIONES LINEALES?

Principalmente se pueden realizar dos operaciones fundamentales que son la suma vectorial y la multiplicación escalar.

Suma de transformaciones lineales: Sean S y T dos transformaciones lineales de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial W. La suma de S + T de las transformaciones lineales se define como:

S + T: V→W S + T(û + ṽ) = (S + T)(û) + (S + T)(ṽ)

S + T: V → W (S + T) (û) = S(û) + T(û)

S + T: V→W (S + T) (ṽ) = S(ṽ) + T(ṽ)

EJEMPLOS:

Û(x, y) = (6x + 3y, 7x-2y) y ṽ(x, y) = (3x – y, x + 2y)

S + T(x, y) = (6x + 3y, 7x – 2y) + (3x – y, x + 2y)

Multiplicación escalar de transformaciones lineales: Sea T una transformación lineal en un espacio vectorial V en otro espacio vectorial W multiplicados por una escalar α

T: V→W  T(αû) = αT(û)

EJEMPLOS: 

Û(x, y) = (6x + 3y, 7x-2y);

T(αû)(x, y) = (6αx + 3αy, 7αx-2αy) = αT(6x + 3y, 7x-2y)

¿QUÉ ES UNA COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES?

Sean y  transformaciones lineales con matrices A1 y A2. La composición  definida por T(v) = T2(T1(v)), es una transformación lineal. Además, la matriz A de T está definida como el producto matricial A = A2 A1[pic 4][pic 5][pic 6]

Para abarcar la composición de n transformaciones lineales puede generalizarse de manera que, las matrices de T1, T2,…, Tn son A1, A2,…, An, entonces la matriz de la composición T está definida por:

A = An An-1…A2 A1. 

 El hecho de que la multiplicación de matrices no es conmutativa, el orden es importante al formar la composición de transformaciones lineales. En general, la composición de T2 ° T1 no es igual a T1 ° T2, como se muestra a continuación en el siguiente ejemplo:

Sean T1 y T2 transformaciones lineales de R3 en R3 tales que

T1(x, y, z) = (2x + y, 0, x + z) ; T2(x, y, z) = (x – y, z, y).

Determine las matrices de las composiciones T = T2 ° T1 y T’ = T1 ° T2

Solución: Las matrices de T1 y T2 son

          Y       .[pic 7][pic 8]

Entonces debido a la definición de composición de transformaciones lineales, la matriz de T está definida por

[pic 9]

Y la matriz de T’ está dada por

[pic 10]

DEFINICION DE TRANSFORMACIÓN INVERSA.

Si T1: Rn →Rn y T2: Rn →Rn son transformaciones lineales tales que para todo v en Rn 

T2(T1(v)) = v   y   T1(T2(v)) = v

Entonces T2 se denomina inversa de T1 y se escribe T2 = T1-1.

No toda transformación lineal es invertible. Para que una transformación inversa exista debe cumplir con las siguientes condiciones.

1. T es invertible.
2. T es un isomorfismo.
3. A es invertible.

Dónde: -T es una transformación lineal T: Rn→Rn.

              -A es la matriz estándar de T.           

Además cabe señalar que si T es invertible con matriz estándar A, la matriz estándar de T-1 es A-1

EJEMPLO: demostración de la transformación R3→R3 sea invertible y determinación de su inversa.

[pic 11]

La matriz estándar A de T es invertible. Más precisamente:

,         [pic 12][pic 13]

Por lo tanto T es invertible y la matriz estándar de T-1 es A-1. Entonces:

[pic 14]

DEFINICION DE VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS.

Si λ es un valor característico de una matriz A y v es un vector característico de A correspondiente a λ, entonces la multiplicación de v por la matriz A produce un vector λv.

Lo anterior se define de la siguiente manera: sea A una matriz de n x n con componentes reales el número λ, ya sea real o complejo, se denomina valor característico de A si existe un vector v diferente de cero tal que

...