UNIDAD 1: PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD

UNIDAD 1: PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD

EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS

Generalidades

En el lenguaje cotidiano se escuchan expresiones que hacen referencia a la probabilidad, tales como: -Probablemente visite a María el fin de semana. -Es muy probable que los Leones del Caracas gane el próximo domingo. -Al lanzar un dado, es más probable que salga 1,2, 3, o 4 a que salga 4 o 6. -Es casi seguro que el empleo de médico lo tome una mujer en lugar de un hombre.

Las expresiones anteriores muestran una idea intuitiva del concepto de probabilidad, dichas ideas reflejan la posibilidad de ocurrencia de hechos o sucesos, en los cuales está presente la incertidumbre en cuanto a lo que puede acontecer.

Inicialmente se definirá la PROBABILIDAD, como la ciencia que trata de cuantificar los posibles resultados de un experimento en el cual está presente la incertidumbre o aleatoriedad. En otras palabras, se habla de probabilidad cuando en un evento intervienen procesos físicos, biológicos o sociales que generan observaciones, y cuyo resultado no es posible predecir con exactitud.

EXPERIMENTOS ALEATORIOS

Cuando se realiza un experimento puede ser de dos clases:

-Determinista: un experimento que siempre que se repita con las mismas condiciones iniciales se obtiene igual resultado.

-Aleatorio: cuando al repetirse con las mismas condiciones iniciales, no se puede predecir el resultado. (Ejemplo: lanzar un dado o extraer una carta).

Los fenómenos o experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la realización del experimento a pesar de haberlo realizado en similares condiciones.

A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral.

Un experimento aleatorio es aquel del que no podemos predecir su resultado, es decir, que depende de la suerte o azar.

O también: es decir que bajo las mismas condiciones no se puede repetir dos veces. Es como si lanzaras dos dados y te caerán 1,1 ó 1,2 ó 3,6 entre otros

Ejemplo: S (1,2) (1,2) (1,3) entre otros.

En general a la ciencia Estadística, y en particular a la teoría de la probabilidad, les interesa y fundamentan su desarrollo y aplicación en los denominados experimentos aleatorios.

Es cualquier acción o proceso que no se tiene certeza de su resultado final, hasta tanto no se ejecute. Este tipo de experimento debe satisfacer con los siguientes requerimientos: -Puede repetirse un número ilimitado de veces bajo las mismas condiciones. - Es posible conocer por adelantado todos los posibles resultados a que puede dar origen. - No puede predecirse con exactitud un resultado en una realización particular del experimento.

Ejemplo

Si se desea formar un equipo de voleibol con 5 jugadores, el nombre de los seleccionados no se sabrá con certeza hasta que no se realicen las pruebas correspondientes y se elijan a los 5 deportistas. Se puede conocer la lista de todos los deportistas inscritos, pero no la lista de los seleccionados.

ESPACIO MUESTRAL

De un experimento aleatorio, es el conjunto de todos los posibles resultados al realizar el experimento. S= 1, 2, 3, 4, 5,6

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento o fenómeno aleatorio. Lo denotamos con la letra . Ejemplo: lanzar una moneda, lanzar dos dados

Ejemplo del espacio muestral

El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:

También otro ejemplo sería el experimento de arrojar un dado y ver qué sale. En este caso, el espacio muetral es:

EVENTOS

Es un subconjunto del espacio muestral. Ejemplo: Al lanzar un dado una vez. E= en la cara superior aparece un número par. E= 2, 4, 6

Sucesos

Suceso de un fenómeno aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral . Para designar cualquier suceso, también llamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio utilizaremos letras mayúsculas.

Al conjunto de todos los sucesos que ocurren en un experimento aleatorio se le llama espacio de sucesos y se designa por .

Ejemplo

En el ejemplo anterior, son subconjuntos de :

Salir múltiplo de 5:

Salir número primo:

Salir mayor o igual que 10:

Analicemos los tipos más frecuentes de sucesos.

Sucesos elementales son los que están formados por un solo resultado del experimento; es decir, están formados por un sólo elemento del espacio muestral, por ejemplo, al lanzar un dado que ocurra el suceso "sacar nº 3" {3}

Sucesos compuestos son los que están formados por dos o más resultados del experimento; es decir, por dos o más sucesos elementales. Por ejemplo: "sacar número impar al lanzar un dado" {1, 3, 5}

Suceso seguro es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está formado por todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral.

Suceso imposible es aquel suceso que nunca se cumple cuando se realiza el experimento. Se representa por .

TÉCNICAS DE CONTEO

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.

* La técnica de la multiplicación

* La técnica aditiva

* La técnica de la suma o Adición

* La técnica de la permutación

* La técnica de la combinación.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.

N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas

PRINCIPIO ADITIVO.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,

M + N + .........+ W maneras o formas

PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION

Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:

m+n maneras.

Regla general del conteo.

si un experimento esta compuesto por k ensayos realizados en un orden definido, donde el primero tiene n resultados posibles, el segundo posee n2 resultados posibles, el tercero tiene n3 resultados posibles, etc. entonces el numero de resultados posibles para el experimento es

n X n2 X n3 X ...... nk

Regla fundamental

si un experimento esta integrado por dos ensayos, donde uno de ellos (una sola accion o elección) tiene m resultados posibles y el otro ensayo tiene n resultados posibles, entonces cuando los ensayos se realizan juntos, se tiene

m x n

Ejemplos

1. ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con cinco consonantes y tres vocales de modo que cada palabra comience y termine en consonante?

2. C V C

3. --- --- --- 5.3.4 = 60 (regla del producto)

5 3 4

4. Determine el número de enteros de seis dígitos (que no comiencen con cero) en los que

a. ningún dígito se pueda repetir.

b. 9 9 8 7 6 5

c. --- --- --- --- --- ---

d.

9.9.8.7.6.5 = 136.080 (regla del producto)

e. se pueden repetir los dígitos.

9.10.10.10.10.10 =

...