Una matriz

Definiciones y notaciones[editar]

Una matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con n filas y m columnas se le denomina matriz n-por-m (escrito n\times m) donde n,m\in \mathbb{N}-\{0\}. El conjunto de las matrices de tamaño n\times m se representa como \mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}), donde \mathbb{K} es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y los mismos elementos en las mismas posiciones.

A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila i-\,\!ésima y la columna j-\,\!ésima se le llama entrada i,j\,\! o entrada (i,j)\,\!-ésimo de la matriz. En estas expresiones también se consideran primero las filas y después las columnas.

Casi siempre se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar las entradas de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A de tamaño n\times m que se encuentra en la fila i-\,\!ésima y la columna j-\,\!ésima se le denota como a_{ij}\,\!, donde 1\leq i\leq n y 1\leq j\leq m. Cuando se va a representar explícitamente una entrada la cuál está indexada con un i\,\! o un j\,\! con dos cifras se introduce una coma entre el índice de filas y de columnas. Así por ejemplo, la entrada que está en la primera fila y la segunda columna de la matriz A\,\! de tamaño 50\times 100 se representa como a_{1,2}\,\! mientras que la entrada que está en la fila número 23 y la columna 100 se representa como a_{23,100}\,\!.

Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos matemáticos. Así \mathbf{A} es una matriz, mientras que A\,\! es un escalar en esa notación. Sin embargo ésta notación generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer ésta distinción tipográfica con facilidad. En otras notaciones se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas.

Otra notación, en si un abuso de notación, representa a la matriz por sus entradas, i.e. A:=(a_{ij})\,\! o incluso A:=a_{ij}\,\!.

Otra definición, muy usada en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, es la de vectores fila y vectores columna. Un vector fila o vector renglón es cualquier matriz de tamaño 1\times n mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamaño m\times 1.

A las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas, m=n\,\!, se les llama matrices cuadradas y el conjunto se denota \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{K}) o alternativamente \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}).

Ejemplo[editar]

Dada la matriz A\in\mathcal{M}_{4\times 3}(\mathbb{R})

A =

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

1 & 2 & 7 \\

4 & 9 & 2 \\

6 & 0 & 5

\end{bmatrix}

es una matriz de tamaño 4\times 3. La entrada a_{23}\,\! es 7.

La matriz R\in\mathcal{M}_{1\times 9}(\mathbb{R})

R =

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9

\end{bmatrix}

es una matriz de tamaño 1\times 9: un vector fila con 9 entradas.

Operaciones básicas[editar]

Las operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones en álgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son únicas.

Suma o adición[editar]

Sean A,B\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}). Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria +:\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\times\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}) tal que (A,B)\mapsto C=A+B y donde c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\,\! en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo \mathbb{K}. Por ejemplo, la entrada c_{12}\,\! es igual a la suma de los elementos a_{12}\,\! y b_{12}\,\! lo cual es a_{12}+b_{12}\,\!.

Veamos un ejemplo más explícito. Sea A,B\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})

\begin{bmatrix}

1 & 3 & 2 \\

1 & 0 & 0 \\

1 & 2 & 2

\end{bmatrix}

+

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 5 \\

7 & 5 & 0 \\

2 & 1 & 1

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

1+1 & 3+0 & 2+5 \\

1+7 & 0+5 & 0+0 \\

1+2 & 2+1 & 2+1

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

2 & 3 & 7 \\

8 & 5 & 0 \\

3 & 3 & 3

\end{bmatrix}

No es necesario que las matrices sean cuadradas:

\begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 4 \end{bmatrix}

\quad + \quad \begin{bmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 1 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0

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