Unidad 1 Metodos Numericos

UNIDAD I:

“Conceptos básicos, exactitud y raíces de ecuaciones.”

CAPITULO 1: CONCEPTOS BASICOS.

Errores

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar cantidades y/o operaciones. Esto da lugar a dos tipos de errores:

Truncamiento

Errores

Redondeo

Los errores de truncamiento, resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto. Por ejemplo, en la solución numérica al problema del objeto en caída libre, usamos una aproximación al proceso de derivación, el cual es un procedimiento matemático exacto.

Esto genera errores de truncamiento durante el procedimiento.

Los errores de redondeo resultan de representar aproximadamente números que son exactos. Por ejemplo, aún en la "solución exacta" al problema del objeto en caída libre, los resultados impresos en la tabla de velocidades no son totalmente exactos puesto que el numero e es un número irracional y por lo tanto su extensión decimal es infinita y no periódica lo que nos impide escribirlo de forma completamente exacta. Usando 5 decimales, tenemos:

Esto genera errores de redondeo durante los cálculos.

En ambos casos tenemos que:

Valor verdadero = valor aproximado + error

Definición. Definimos el error absoluto como:

= valor verdadero - valor aproximado

Esta definición de error tiene un pequeño defecto, como veremos en el siguiente:

Ejemplo

Al medir la longitud de una varilla para construcción se obtiene el resultado aproximado de 19,999 cms. mientras que al medir la longitud de un clavo, se obtiene el resultado de 9 cms. Suponiendo que los valores verdaderos de la varilla y el clavo son de 20,000 cms. y 10 cms. respectivamente, calcular el error absoluto en ambos casos.

Solución. Tenemos los siguientes resultados:

Para el caso de la varilla, el error absoluto se calcula como:

Para el caso del clavo, el error absoluto se calcula como:

En ambos casos, el error absoluto es igual!, pero obviamente tiene mayor trascendencia el error en el caso del clavo que en el caso de la varilla, es decir, necesitamos comparar el error absoluto contra el valor verdadero y esto da lugar a las siguiente definición.

Existen dos preguntas en cálculos numéricos de suma importancia como son:

1) El optimista pregunta ¿qué tan precisos son los resultados calculados?;

2) El pesimista pregunta ¿qué tanto error se ha introducido?

Desde luego, las dos preguntas corresponden a lo mismo. Sólo en raras ocasiones los datos proporcionados serán correctos, puesto que suelen originarse errores en el proceso de medida. De modo que hay un error probable en la información de entrada. Además, el propio algoritmo introduce error, quizá redondeos inevitables. La información de salida contendrá entonces error generado por ambas fuentes.

Lección 1 Exactitud y Precisión

Dígitos Significativos:

Son aquellos números diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de izquierda a derecha; empiezan con el primer dígito diferente de cero y terminan con el tamaño que permitan las celdas que guardan la mantisa.

Exactitud:

Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa.

Precisión:

Se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad, a esto se refiere cuando se habla de doble precisión, dependiendo de la máquina que estemos utilizando.

Errores Inherentes o Heredados:

Son errores en los valores numéricos con que se va a operar, pueden deberse a dos causas: sistemáticos o accidentales.

Errores Sistemáticos:

Debidos a la imprecisión de los aparatos de medición.

Errores Accidentales:

Debidos a la apreciación del observador y otras causas.

Errores de Truncamiento:

Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación. Sucede cuando se toman sólo algunos términos de una serie infinita o cuando se toma sólo un número finito de intervalos. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada sólo toma en cuenta los dígitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dígito perdido.

Error de Redondeo:

Se ocasiona debido a las limitaciones propias de la máquina para representar cantidades que requieren un gran número de dígitos.

Dependiendo de como se redondea puede ser de dos formas.

Error de Redondeo Inferior:

Se desprecian los dígitos que no pueden conservarse dentro de la localización de memoria correspondiente (pensando de una manera estricta, este caso puede considerarse como un error de truncamiento).

Error de Redondeo Superior:

Este caso tiene

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