Viga Empotrada

En esta página, describiremos el movimiento de una partícula de masa m parte del reposo desde la posición x0 y desliza a lo largo de una superficie parabólica en posición vertical de ecuación y=ax2/2.

Ecuaciones del movimiento

Las fuerzas que actúan sobre la partícula cuando se encuentra en la posición x, moviéndose hacia la derecha son:

• El peso, mg

• La reacción de la superficie, N

• La fuerza de rozamiento, Fr=μN, siendo μ el coeficiente de rozamiento

Cuando la partícula en el instante t, se encuentra en la posición x, el vector velocidad v (cuya dirección es tangente a la trayectoria) forma un ángulo θ con el eje X.

Movimiento hacia la derecha

La partícula inicialmente en reposo, parte de la posición x0, y se moverá hacia la derecha si la componente tangencial del peso es mayor que la fuerza de rozamiento

mgsen|θ0|≥μsmgcosθ0 tan|θ0|≥μs

Siendo μs=μ el coeficiente de rozamiento estático

Descomponemos las fuerzas, y escribimos las ecuaciones del movimiento a lo largo del eje X y del eje Y

Relacionamos x e y y sus derivadas respecto del tiempo t

Eliminando N de las dos ecuaciones del movimiento, nos queda la ecuación diferencial

(1)

Resolvemos la ecuación diferencial por procedimientos numéricos, con la condición inicial de que la partícula está en reposo vx=dx/dt=0 en el instante t=0, cuando se encuentra en la posición x0.

Posición de pausa

La partícula se mueve hacia la derecha, hasta que se para momentáneamente en la posición x1. Para calcular esta posición trasformamos la ecuación diferencial de segundo orden en una de primer orden.

Integramos la ecuación diferencial entre x0 ó θ0 donde la velocidad es 0 y x ó θ donde la velocidad de la partícula es vx.

(2)

En la posición θ=θ1 la velocidad es cero, esta posición se calcula poniendo vx=0 en la ecuación anterior y resolviendo la ecuación trascendente

(3)

Una vez calculado la raíz θ1, se calcula la posición x1 a partir de tanθ1= a•x1

Movimiento hacia la izquierda

Cuando la partícula llega a la posición x1, se para momentáneamente e inicia el camino de vuelta si la fuerza de rozamiento es menor que la componente tangencial del peso

mgsenθ1≥μmgcosθ1 tan θ1≥μ

La fuerza de rozamiento cambia de sentido, y las ecuaciones del movimiento son

Eliminando N de las dos ecuaciones del movimiento nos queda la ecuación diferencial

Es la misma ecuación que hemos obtenido anteriormente (1) cambiando μ→-μ

La partícula sale de la posición x1 se mueve hacia la izquierda y se para en la posición x2, que se obtiene resolviendo la ecuación trascendente (3) en la que se ha efectuado el cambio μ→-μ

Una vez calculado la raíz θ2, se calcula la posición x2, tal que tanθ2= a•x2

Y así sucesivamente, hasta que el ángulo tan|θn|<μ

Trabajo de la fuerza de rozamiento

Fr=μN es la fuerza de rozamiento

dr es el vector desplazamiento cuyo módulo es ds.

Calculamos la reacción N de la superficie

La ecuación del movimiento en la dirección normal es

donde ρ es el radio de curvatura y el punto C el centro de curvatura

Buscamos en un libro de cálculo diferencial e integral, el capítulo de nociones básicas de geometría diferencial, y copiamos la fórmula que nos da el radio de curvatura de una función y=f(x) en un punto de abscisa x.

Para la parábola de ecuación

Sabiendo que la componente x de la velocidad de la partícula (2) vale

La reacción de la superficie N es

Calculamos el trabajo W

Balance energético

Podemos calcular el trabajo W, como diferencia entre la energía final (cuando la partícula se encuentra

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