Logica Matematica
Enviado por cristian_081188 • 14 de Enero de 2014 • 2.027 Palabras (9 Páginas) • 233 Visitas
1.2.6 Proposici´on Condicional
Dadas dos proposiciones p y q, a la proposici´on compuesta
“si p, entonces q”
se le llama “proposici´on condicional” y se nota por
p −! q
A la proposici´on “p” se le llama hip´otesis, antecedente, premisa o condici´on suficiente y a la “q”
tesis, consecuente, conclusi´on o condici´on necesaria del condicional. Una proposici´on condicional es
falsa ´unicamente cuando siendo verdad la hip´otesis, la conclusi´on es falsa (no se debe deducir una
conclusi´on falsa de una hip´otesis verdadera).
De acuerdo con esta definici´on su tabla de verdad es,
p q
V V
V F
F V
F F
p −! q
V
F
V
V
Obs´ervese que si p −! q es verdad no puede deducirse pr´acticamente nada sobre los valores de verdad
de p y q ya que pueden ser ambas verdad, ambas falsas o la primera falsa y la segunda verdad. Ahora
bien, si el condicional p −! q es falso, entonces podemos asegurar que p es verdadera y q falsa.
Otras formulaciones equivalentes de la proposici´on condicional p −! q son:
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Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
“p s´olo si q”.
“q si p”.
“p es una condici´on suficiente para q”.
“q es una condici´on necesaria para p”.
“q se sigue de p”.
“q a condici´on de p”.
“q es una consecuencia l´ogica de p” .
“q cuando p”.
Analizaremos con detalle cada uno de los cuatro casos que se presentan en la tabla de verdad.
1. Antecedente y consecuente verdaderos.
En este caso parece evidente que el condicional “si p, entonces q” se eval´ue como verdadero. Por
ejemplo,
“Si como mucho, entonces engordo”
es una sentencia que se eval´ua como verdadera en el caso de que tanto el antecedente como el
consecuente sean verdaderos.
Ahora bien, obs´ervese que ha de evaluarse tambi´en como verdadero un condicional en el que no
exista una relaci´on de causa entre el antecedente y el consecuente. Por ejemplo, el condicional
“Si Garc´ıa Lorca fue un poeta, entonces Gauss fue un matem´atico”
ha de evaluarse como verdadero y no existe relaci´on causal entre el antecedente y el consecuente.
Es por esta raz´on que no hay que confundir el condicional con la implicaci´on l´ogica.
“Garc´ıa Lorca fue un poeta implica que Gauss fue un matem´atico”
Es una implicaci´on falsa desde el punto de vista l´ogico. M´as adelante estudiaremos la implicaci´on
l´ogica.
2. Antecedente verdadero y consecuente falso.
En este caso parece natural decir que el condicional se eval´ua como falso. Por ejemplo, supongamos
que un pol´ıtico aspirante a Presidente del Gobierno promete:
“Si gano las elecciones, entonces bajar´e los impuestos”
Este condicional ser´a falso s´olo si ganando las elecciones, el pol´ıtico no baja los impuestos. A nadie
se le ocurrir´ıa reprochar al pol´ıtico que no ha bajado los impuestos si no ha ganado las elecciones.
Obs´ervese que el hecho de que p sea verdadero y, sin embargo, q sea falso viene, en realidad, a
refutar la sentencia p −! q, es decir la hace falsa.
3. Antecedente falso y consecuente verdadero.
Nuestro sentido com´un nos indica que el condicional p −! q no es, en este caso, ni verdadero ni
falso. Parece il´ogico preguntarse por la veracidad o falsedad de un condicional cuando la condici´on
expresada por el antecedente no se cumple. Sin embargo, esta respuesta del sentido com´un no nos
sirve, estamos en l´ogica binaria y todo ha de evaluarse bien como verdadero, bien como falso, es
decir, si una sentencia no es verdadera, entonces es falsa y viceversa.
Veamos que en el caso que nos ocupa, podemos asegurar que el condicional no es falso. En efecto,
como dijimos anteriormente, p −! q es lo mismo que afirmar que
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L´ogica Matem´atica Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
“p es una condici´on suficiente para q”
es decir, p no es la ´unica condici´on posible, por lo cual puede darse el caso de que q sea verdadero
siendo p falso. O sea, la falsedad del antecedente no hace falso al condicional y si no lo hace falso,
entonces lo hace verdadero. Por ejemplo,
“Si estudio mucho, entonces me canso”
¿Qu´e ocurrir´ıa si no estudio y, sin embargo, me cansara? Pues que la sentencia no ser´ıa inv´alida,
ya que no se dice que no pueda haber otros motivos que me puedan producir cansancio.
4.
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