TAREA DEFINICION DE LOGARITMO

                               LOGARITMOS

1. DEFINICION DE LOGARITMO

El logaritmo de un número positivo N  en base b, positivo y distinto de la unidad, es el exponente X al que hay que elevar la base para obtener dicho número. Es decir bx  = N  ,  o bien  x = log b N .

Por ejemplo, el logaritmo en base 3 de 9 es 2, porque elevando la base ( 3 ) al número obtenido ( 2 ) resulta 9 , que es el número del logaritmo. Esto escrito se denota de la siguiente manera:

               Log 3 9 = 2,  es decir 32  = 9   (se eleva la base al resultado para                                obtener el número.)

         Otro ejemplo puede ser el de log 2 8,que es un número x al que se debe elevar la base 2 para obtener 8, es decir, 2x = 8.   X=3, por lo tanto log 2 8 = 3.

         Las relaciones bx = N  y  x = log b N  son equivalentes: bx =N  es la forma exponencial y  x= log b N  es la forma logarítmica. Como consecuencia, a cada propiedad de la potenciación, le corresponde una propiedad de la logaritmización.

I.I   PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS :

1. La suma de logaritmos de dos números es igual al logaritmo de la     multiplicación de los números. Es decir:  

Log x y + log x z = log x y · z

EJEMPLO:  log 2 3(5) = log 2 3 + log 2 5

1. El logaritmo del cuociente de dos números positivos es igual a la diferencia de los logaritmos de ambos. O sea:

Log x y – log  x z = log x  y: z

EJEMPLO:  log 5 17: 24 = log 5 17 – log 5 24

1. Cambio de base

Log x y = [pic 1]

EJEMPLO:    log 2 15 = [pic 2] 

4.   log x x = 1

EJEMPLO:   log 5 5 = 1              porque  5 1 = 5

1. Igualdad de Logaritmos.

log x y = log x k                 sólo si  y = k

EJEMPLO:   log 7 (3x+4) = log 7 (4x+3)  =>  3x+4 = 4x+3  => -x =-1

Luego x = 1

1. [pic 3] = y

1.   Logaritmo de un argumento elevado a una potencia

log x y z = z log x y

1. Logaritmo elevado a una potencia

( log x y ) z = log z x y

I.II    ECUACIONES EXPONENCIALES LOGARITMICAS

         Se llaman ecuaciones exponenciales logarítmicas, aquellas ecuaciones que presentan la incógnita en el exponente.

EJEMPLOS:               3x = 1                ó              23x-1 = 3x+2

        Se llaman ecuaciones logarítmicas, aquellas ecuaciones que presentan la incógnita como argumento de una función logarítmica.

EJEMPLOS:               log x = 2            ó               log (3x-1) = log (x+2)

      Para resolver ecuaciones exponenciales podemos igualar las bases y aplicar.

EJEMPLO:              3X = 1

            luego            3X = 30[pic 4]

   entonces                x = 0[pic 5]

I.III  COLOGARITMOS

El cologaritmo de un número positivo es el logaritmo de su recíproco.

Por ejemplo:

                         colog N = log 1  = log 1- log N = -log N       ya que  log 1 = 0

                                                N

II   EJERCICIOS RESUELTOS DE COMPRENSION

II.I         RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES

1. log 3 x = 2

32 = x ,  x = 9

b)  log 4 y = - 3

                       2

     4 –3/2 = y  ,  y = 1

                              8

II.II  RESOLVER:

1.  log x 25 = 2

x2 = 25   ,   x = + 5[pic 6]luego x = 5 es solución  y x = -5 no es solución  porque la  base de un logaritmo  no puede ser negativa.

1. log (3x2 +2x – 4 ) = 0

10 0 =3x 2 +2x – 4     luego            3x2 + 2x – 5  = 0 ,  finalmente                                         x1 = - 5/3  y x2 = 1                                    [pic 7]

II.II  PROBLEMAS EXPLICATIVOS DE ECUACIONES LOGARITMICAS

1. Calcular x

52x+2 = 35x-1

(2x+2) log 5 = (5x-1) log 3

2x log 5- 5x log 3 = - log 3 – 2log 5

x(2log 5 –5log 3) = - log 3 – 2log 5

x = log 3+ 2log 5 = 1,898           x = 1,898

           5log 3- 2log 5

1. Calcular x

     log 2 (9 x-1 + 7) = 2+log 2 (3x-1 + 1)

     log 2 (3 2x-2 + 7) = 2+log2 (3 x-1 + 1)

     log 2 (3 2x-2 +7) = log 2 4 +log 2 (3x-1 + 1)

     log 2 (32x-2 +7) = log 2 4 (3x-1 + 1)

     (32x-2 +7) = 4 (3x-1 + 1)

      3 2(x-1) – 4(3 x-1) + 3 = 0                       u = 3 x-1

      u 2 – 4u +3 = 0

      (u-1) (u-3) = 0

                     u1 = 1

                     u2 = 3

1 = 3 x-1          y        3 = 3 x-1

30=3x-1                                  x = 2 

x = 1

       x2 + y 2 = 425      |

       log x + log y =2  |

       ----------------------

      x2 +y2 = 425

      log 10 x·y = 2 / 10x

      x2 + y2 = 425

      10log xy = 102

      x2 + y2 = 425

      xy= 100         / · 2

      x2 + y2 =425[pic 8]

         2xy = 200

      x2 + 2xy + y2 = 625

                  x + y = ±25   => y1=25 – x    ,   y2 = -25 - x

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