Propiedades De La Divicion

Propiedades de la división

1. División exacta: En una división exacta el dividendo es igual al divisor por el cociente.

D = d • c

15 = 5 • 3

2. División entera: En una división entera el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

D = d • c + r

17 = 5 • 3 + 2

3. No es una operación interna en los números naturales y enteros: El resultado de dividir dos números naturales o enteros no siempre es otro número natural o entero.

2 : 6

4. No es Conmutativa:

a : b ≠ b : a

6 : 2 ≠ 2 : 6

5. Cero dividido entre cualquier número da cero.

0 : 5 = 0

6. No se puede dividir por 0.: Porque no existe ningún cociente que multiplicado por 0 sea igual al dividendo.

“PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES”

ADICIÓN NUMEROS RACIONALES

Sumar y restar fracciones con igual denominador es muy sencillo. El resultado tendrá por numerador a la suma o resta de los numeradores y el denominador será el mismo.

Si las fracciones no tienen el mismo denominador, se sustituyen por fracciones equivalentes con igual denominador (determinamos un denominador común). Luego se opera de la misma manera que en el cálculo anterior.

La suma de dos números racionales es otro número racional. Cumplen las siguientes propiedades:

 Conmutativa : a + b = b + a

Ejemplo: 3/4 +1/2 = 1/2+3/4

 Asociativa: (a+b) + c = a + (b+c)

Ejemplo: 3/4 + (1/2+1/4)= (3/4 + 1/2) +1/4

 Distributiva:

Ejemplo: 1/2 (1/3+3/4) = 1/2(1/3) + 1/2(3/4)

 Elemento neutro: a + 0 = a

Ejemplo: 1/2 +0/2 = 1/2

Sustracción Números Racionales

 Distributiva:

Ejemplo: 1/2 (1/3-3/4) = 1/2(1/3) - 1/2(3/4)

 Elemento neutro: a – 0 = a

El número 0 es el elemento neutro de la adición y sustracción de números racionales.

Ejemplo: 1/2 -0/2 = 1/2

Multiplicación de Números Racionales

El producto de dos números racionales es otro número racional. Cumple las siguientes propiedades:

 Conmutativa: a • b = b • a

Ejemplo: (3/4) (1/2) = (1/2) (3/4)

 Asociativa: (a • b) • c = a • (b • c)

Ejemplo: 3/4 [(1/2)(1/4)]= [(3/4)(1/2)] (1/4)

 Elemento neutro = a • 1 = a

Ejemplo: 1/1 porque 1/2 +1/1 = ½

 Inverso multiplicativo=(a/b) (b/a) =1

Ejemplo: 5/7 * 7/5 = 35/35 = 1

El cociente de dos números fraccionarios es igual al producto entre el dividendo y el inverso del divisor.

a/b : c/d = a*d b*c

Ejemplo: −2/5: 4/3 = −2/5 * 3/4= −6/20

 Elemento neutro = 1 porque 1/2 / 1 = 1/2

Propiedades de la Multiplicación de Fracciones

El producto de fraccionarios, también posee propiedades que deben ser tomadas en cuenta al momento de resolver operaciones multiplicativas.

Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.

ab×cd=ef

Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.

(ab×cd)×ef=ab×(cd×ef)

Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona.

ab×cd=cd×ab

Propiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:

ab×(cd+ef)=(ab×cd)+(ab×ef)

Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.

ab×1=ab

ab÷1=ab

Multiplicación de Fracciones con Números Enteros

Cuando multiplicamos una fracción con un número natural entero se opera de esta manera:

ab×c=ab×c1=acb

En este caso tomamos en cuenta que el denominador de cualquier número entero es de 1 y por lo tanto cualquier multiplicación de una fracción con un número entero se multiplica al denominador por uno, es decir que mantiene el denominador de la fracción en cuestión.

Multiplicación de Fracciones Mixtas

Para empezar a multiplicar estas fracciones primero debemos definir que son las fracciones mixtas y las fracciones impropias.

Fracciones mixtas.- son aquellas en las cuales se combina un número entero y una fracción en el mismo número, por ejemplo:

234

Fracciones impropias.- una fracción de esta índole, se caracteriza por que el numerador es mayor que el denominador, pero no significa que este mal, de hecho en las matemáticas es más fácil operar con fracciones impropias que con las mixtas, esta es una muestra de fracción impropia:

114

Al analizar bien ambos ejemplos, nos podemos dar cuenta que ambos tienen el mismo vales, pero el primero está representado en forma de fracción mixta, mientras que el segundo es una fracción impropia, y para poder realizar una multiplicación entre fracciones mixtas, primero se debe convertir en una fracción impropia, y esto se explica a continuación.

Para poder hacer que una fracción mixta esté representada como fracción impropia, tomamos la parte entera del número y la multiplicamos por el denominador, y ese resultado se lo suma al numerador y de esta manera armamos la fracción. Si tomamos el ejemplo anterior, podemos decir que se multiplicó la parte entera (2) por el denominador de la fracción (4) y luego con el resultado (8) lo sumamos al numerador (3) y obtuvimos (11), y luego al poner esta ultima suma sobre la fracción obtuvimos (11/4), que es una fracción impropia. La formula sería:

abc=ac+bc

Ahora, para multiplicar una fracción mixta primero se la convierte en impropia y se procede con la multiplicación como se ha venido diciendo, multiplicando los denominadores y los numeradores. Por ejemplo:

234×23=114×23=2212=116

Y si se lo requiere, se puede convertir esta fracción impropia en una fracción mixta, para volver a la forma original de la operación. Para hacerlo dividimos el numerador para el denominador y se deja el resto a un lado, el resultado (sin el resto) se escribe como el número entero y el resto va como numerador mientras se mantiene el mismo denominador, veamos:

Tenemos

116

Dividimos 11÷6=1 con resto 5

Escribimos 1 como entero y el resto 5 ponemos como numerador y el denominador queda igual, siendo el resultado:

156

Multiplicación de Fracciones Algebraicas

Las multiplicaciones fraccionarias algebraicas no serán un gran problema, si ya conoces la manera de multiplicar fracciones comunes, pues el principio es el mismo, excepto que en algebra, existen valores desconocidos o literales que irán descubriéndose a medida que avances en la operación.

La respuesta del producto de fracciones algebraicas es otra fracción algebraica. Además al momento de multiplicar potencias deberás sumar los exponentes cuando posean la misma base, es decir que si el literal es diferente en cada fracción, las potencias no se suman, pero si son literales iguales, deberás sumarles de acuerdo a las propiedades de la potenciación.

Ejemplos de Multiplicación de Fracciones

Multiplicación simple:

13×25=215

Multiplicación asociativa/distributiva:

(27×34)+528=2×37×4+528=628+528=1128

Multiplicación de fracciones con números enteros:

4×37=4×37=127

Multiplicación de fracciones mixtas:

415×29=215×29=4245

Multiplicación de 3 fracciones:

13×25×47=8105

Multiplicación de fracciones algebraicas:

x3×23y=2x9y

Multiplicación de fracciones algebraicas con potencias

xy35×3y22y=x×3y3+25×2y=3xy510y

Numeros Naturales

¿Que son los Numeros Naturales?

Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera

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