APLICACION GRADIENTE Y DERIVADAS PARCIALES

Introducción

El problema planteado en este informe trata sobre la producción diaria de pernos expresado en miles de una empresa, cuando dicha producción depende de la fuerza laboral y el capital invertido semanalmente, y también como afectan los cambios de las variables independientes en la razón de cambio de la producción de la empresa.

Problema

Una empresa fabrica pernos y la cantidad en miles de pernos que puede producir la empresa depende de x, y:

                      [pic 1]

Donde:

x: Capital invertido para la fabricación semanalmente en cientos de dólares

y: es el número de horas trabajadas por semana en unidades de cientos de horas

1. ¿Cuál es la productividad marginal cuando se invierte $1000 y cuando se trabaja 720 horas semanales? Si la empresa desea aumentar la producción ¿qué acción le resultará más beneficiosa aumentar la inversión o la fuerza laboral?
2. ¿Cuánto debe aumentar el valor de x e y para que el incremento de la producción sea máximo si actualmente se invierte $1000 y se trabaja 720horas semanales? ¿En cuánto aumentaría la producción?
3. Si cuando x=10, y=7.2 la inversión aumenta a razón de 300 dólares por semana y la fuerza laboral aumenta a razón de 400 horas por semana. ¿cuál será la razón de cambio de la producción?

Desarrollo del problema

1. Calculamos la derivada parcial:

•  [pic 2]

         Y reemplazamos x=10 y=7.2 quedando como resultado:

[pic 3]

•           [pic 4]

        Reemplazamos x=10 y=7.2

[pic 5]

La productividad marginal cuando se invierte 1000 y la fuerza laboral se mantiene constante es de 1270 unidades. La productividad marginal cuando la fuerza laboral es de 720horas semanales y la fuerza laboral se mantiene constante es de 1760 unidades. [pic 6]

1. Como se desea saber cuánto se debe aumentar en x, y para que la producción aumente al máximo se debe hallar la gradiente de la función y analizarla en (x,y)=(10,7.2)

[pic 7]

[pic 8]

        Reemplazando los valores del (x,y)

[pic 9]

Eso quiere decir que el valor de x debe aumentar en 1.27 y el valor de y debe aumentar en 1.77:

(10,7.2) + (1.27, 1.77) = (11.27,8.97)[pic 10]

                La tasa de incremento es el módulo de la gradiente

                [pic 11]

El valor de (x, y) debería aumentar en (1.27,1.77) y la producción aumentaría en 14400[pic 12]

1. La inversión aumenta a razón de 300 dólares por semana y la fuerza laboral aumenta a razón de 400 horas por semana, eso quiere decir que la dirección de cambio es

                          [pic 13]

Pero para calcular la derivada direccional el vector debe ser unitario

[pic 14]

Entonces

 [pic 15]

[pic 16]

                        [pic 17]

La razón de cambio de la producción será de 2180 unidades [pic 18]

Conclusiones

1. La productividad marginal cuando se invierte $1000 manteniéndose constante las horas que se trabajan en 720horas aumenta en 1270unidades y cuando se mantiene constante el capital invertido en $1000 aumenta la producción en 1770unidades. Y como se quiere aumentar la producción le resultaría mas beneficioso a la empresa aumentar la fuerza laboral.
2. Para que la producción aumente al máximo cuando se invierta $1000 y se trabaje las 720 horas semanales se debe aumentar la inversión a $1127 y las horas trabajadas a 897 horas semanales y la producción aumentara en 14400 unidades.
3. La razón de cambio de la producción es de 2180 unidades cuando la inversión aumenta $300 semanalmente y la fuerza laboral aumenta a 400 horas semanalmente.

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