La derivada y sus aplicaciones
Enviado por Katherine Agusto Morales • 10 de Junio de 2019 • Trabajos • 13.812 Palabras (56 Páginas) • 103 Visitas
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Unidad 2
La derivada y sus aplicaciones
I.- Introducción o motivación inicial
Estimados Estudiantes:
Bienvenidos(as) a la segunda actividad virtual del módulo de Cálculo. A través de esta actividad, se revisarán las reglas básicas de derivación, como son la derivada de una constante por una función, la derivada de la potencia, de la suma y resta de funciones. También derivaremos funciones compuestas mediante la regla de la[pic 5]
cadena, como la derivada de las funciones exponenciales y logarítmicas Estas nuevas herramientas permitirán calcular la pendiente de la recta tangente de una función en cualquier punto, calcular ingreso marginal y otras aplicaciones. Además, la derivada permite analizar si una función es creciente o decreciente en un intervalo determinado. También analizaremos Problemas sencillos de optimización.
Los aprendizajes y competencias esperados para esta semana son:
- Derivan funciones reales de una variable, aplicando las reglas básicas de derivación, demostrando conocimiento conceptual y operativo de la derivada y sus aplicaciones.
- Derivan funciones reales de una variable, aplicando la regla del producto y del cuociente, demostrando conocimiento conceptual y operativo de la derivada y sus aplicaciones.
- Derivan funciones reales de una variable, aplicando la regla de la cadena, demostrando conocimiento conceptual y operativo de la derivada y sus aplicaciones.
- Derivan funciones reales de una variable, aplicando las reglas de la función exponencial y logarítmica, demostrando conocimiento conceptual y operativo de la derivada y sus aplicaciones.
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- Resuelven problemas contextualizados, de máximos y mínimos, utilizando máximos y mínimos relativos.
- Resuelven problemas de optimización sencillos, utilizando el criterio de la segunda derivada.
- Resolver problemas contextualizados en la especialidad, demostrando capacidad para operar conceptual y operativamente con derivadas y sus aplicaciones y habilidad en el uso de la calculadora científica.
II.-Listado de Contenidos de la unidad
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III.-Desarrollo del tema:
Tema 1: Reglas básicas de Derivación
- Introducción del tema.
Estudiantes a continuación revisaremos las reglas básicas de derivación que serán la base para comprender de mejor forma las derivadas y sus aplicaciones y la importancia en nuestro diario vivir.
Sea y = f(x) una función dada. La derivada de y con respecto a x denotada por define por:
dY
dx , se[pic 10]
, con tal de que este límite exista.
Existen 4 formas de simbolizar la derivada de una función f(x)=y
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Para calcular la derivada
dY
dx , seguiremos los siguientes pasos:[pic 12]
- Calculamos
y = f (x) y y + Δy = f (x + Δx)
- Restamos la primera cantidad de la segunda para obtener Δy
resultado
y simplificamos el
- Dividimos Δy entre Δx y aplicamos el límite de la expresión cuando Δx → 0
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dY | = | lim Δy | o bien dY | = | lim | f | (x | + Δx) | − | f | (x) |
dx | Δx→0 Δx | dx | Δx→0 | Δx |
Ejemplo:
Determine
f ′(x) si y =
f (x) = 3x2 + 2x + 5 evalúe f ′(3) y f ′(−2)
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Solución:
y = f (x) = 3x2 + 2x + 5,
se tiene que.
y + Δy = f (x + Δx) = 3⋅ (x + Δx)2 + 2 ⋅ (x + Δx) + 5
= 3⋅ (x2 + 2 ⋅ x ⋅ Δx + Δx2 ) + 2 ⋅ (x + Δx) + 5
= 3x2 + 6 ⋅ x ⋅ Δx + 3⋅ Δx2 + 2x + 2 ⋅ Δx + 5
...