Aplicaciones de las Derivadas parciales

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FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y URBANISMO

ASIGNATURA              : MATEMATICA II

INFORME          : APLICACIONES DE LAS DERIVADAS   PARCIALES.[pic 2]

                 : MAXIMOS Y MINIMOS.[pic 3]

                                     : MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.[pic 4]

                                     : PROBLEMAS DE OPTMIZACION.[pic 5]

INTEGRANTES            :

                                 LEÓN FLORES BEICON HERCEN

                                     CABANILLAS TORRES ALEX

                                     BURGA QUISPE JONATAN

                                     VASQUEZ ROJAS FERNANDO

 DOCENTE                    : IDROGO BURGA EDINZON

 CICLO                            : III

                                      Chiclayo, Pimentel mayo del 2018

MARCO TEORICO

Aplicaciones de las Derivadas parciales

Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una función de varias variables respecto a una de sus variables independientes se utiliza el proceso de derivación parcial. Definición´ 1.1 (Derivadas parciales de una función de dos variables). Si z = f(x, y) las primeras derivadas parciales de f con respecto a las variables x e y son las funciones definidas como

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Siempre y cuando el límite exista.

Observación´ 1.1. La definición indica que para calcular ∂f ∂x se considera y constante derivando con respecto a x y para calcular ∂f ∂y se considera x constante derivando con respecto a y. Pueden aplicarse por tanto las reglas usuales de derivación.

Aplicaciones De Las Derivadas Parciales. Máximos Y Mínimos De Funciones De Varias Variables.

Definición.- la función f: D ᴄ , definida en un conjunto abierto D ᴄ , tiene un valor máximo absoluto sobre el conjunto D ᴄ  si existe un punto p ( € D tal que f (x, y) ≤ f (, Ɐ (x. y) € D, en este caso f ( es el valor máximo absoluto de f en D.[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Definición.- la función f: D ᴄ , definida en un conjunto abierto D ᴄ , tiene un valor mínimo absoluto sobre el conjunto D ᴄ  si existe un punto p ( € D tal que f ( ≤ f (x. y), Ɐ (x. y) € D, en este caso f ( es el valor mínimo absoluto de f en D.[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

Observación: Si la función f: D ᴄ , es continua en un conjunto cerrado D ᴄ , entonces existe al menos un punto P € D donde f tiene un valor máximo absoluto y al menos un punto Q € D, donde f tiene un valor mínimo absoluto.[pic 19][pic 20]

Definición.- la función f: D ᴄ , definida en un conjunto abierto D ᴄ , tiene un minino relativo en el punto € D, si existe una bola abierta B (, €) C D tal que f () ≤ f (  ), Ɐ  € B (, €) C D.[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

Definición.- La función f: D ᴄ , definida en un conjunto abierto D ᴄ , tiene un valor máximo relativo en el punto € D, si existe una bola abierta B (, €) C D tal que f (  ) ≤ f (), Ɐ   € B (, €) C D.[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

Observación: A los valores máximo y mínimos relativos de la función f: D ᴄ , le llamaremos extremos de la función f.[pic 37]

Teorema:

Si la función: D ᴄ , definida en un conjunto abierto D ᴄ tiene un valor extremo en  € D y  f () existe, entonces  f () = 0 Ɐ k = 1, 2, 3,…, n.[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]

Demostración

si la función f tiene un valor máximo relativo en  , tal que:  , luego  donde  esto es debido a que , para cada  se tiene , esto nos implica que si h>0 se tiene ahora si h<0,  entonces  , como  existe se tiene que :  donde . Por lo tanto, los valores extremos de una función , DEFINIDA EN EL CONJUNTO ABIERTO d puede ocurrir en puntos donde las primeras derivadas parciales de f son ceros.[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56]

Definición

Sea la función f: D ᴄ  definida en un conjunto de abierto D ᴄ  Los puntos () € D donde todas las derivadas parciales de primer orden de f son ceros o no existen, se llaman puntos estacionarios o puntos críticos de f.[pic 57][pic 58][pic 59]

Nota

Para el caso de las funciones f: D ᴄ , diremos que los puntos P (a, b) para los cuales = 0, = 0 se dice que son puntos críticos de f. los puntos críticos juegan un papel importante para los máximos y mínimos relativos. [pic 60][pic 61][pic 62]

Observación: La condición necesaria para que una función tenga extremo relativo en un punto, donde sus derivadas parciales existen, es que este punto sea un punto estacionario o crítico, sin embargo esta condición no es suficiente, por ejemplo, la función f (x. y) =  cuyas derivadas parciales son: [pic 63]

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A pesar de esto la función no tiene máximo ni mínimo relativo, en este caso, a este tipo de puntos se denominan puntos de silla. [pic 65]

Observación: Un punto crítico que no es de un máximo o mínimo relativo es llamado punto silla (o de monitor).

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Sea f: D ᴄ  una función definida en el conjunto abierto D de tal manera que las derivadas parciales primeras, y segundas de f sean continuas en la región abierta D que contiene un punto (a, b) tal que = 0, = 0 Para determinar si en dicho punto hay un extremo relativo de f, definimos la cantidad [pic 66][pic 67][pic 68]

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