Derivadas Parciales

La identidad termodinámica es una fórmula en resumen útil, que usa la fuerza del cálculo y particularmente las derivadas parciales. Se puede aplicar para examinar procesos, en los cuales se mantienen constantes una o mas variables de estado, como por ejemplo volumen constante, presión constante, etc. La identidad termodinámica se mantiene válida para cualquier cambio infinitesimal en un sistema, tanto tiempo como la presión y la temperatura que estén bien definidas. Se supone que el número de partículas es constante (o sea, se trata con el mismo sistema antes y después del cambio).

Identidad termodinámica:

dU = TdS - PdV

"d" denota el diferencial total de su cantidad asociada U = energía interna

S = entropía

V = volumen

T = temperatura

P = presión

Temperatura por la Identidad Termodinámica

A menudo, la definición de temperatura se hace en función de la energía cinética traslacional media de las partículas; a esta se le llama temperatura cinética. Se puede hacer una definición alternativa de la temperatura desde la identidad termodinámica:

Identidad termodinámica:

dU = TdS - PdV

"d" denota el diferencial total de su cantidad asociada U = energía interna

S = entropía

V = volumen

T = temperatura

P = presión

Si mantenemos el volumen constante, esto nos lleva a la expresión de la temperatura como la derivada parcial de la entropía respecto a la energía interna.

Esta definición presupone que al tomar la derivada, se están manteniendo constantes tanto el volumen como el número de partículas. Esto se puede aplicar a la expresión de la entropía de un gas ideal mono atómico:

Tomar la derivada parcial de esta expresión respecto de U para obtener la temperatura, necesita de un poco de gimnasia con los logaritmos. El uso de la regla para el logaritmo del producto nos permite expresar el logaritmo como ln(U3/2) solo, mas otros términos logarítmicos que no contienen U y por tanto desaparecerán cuando se tome la derivada. Luego recordar que ln(U)3/2=3/2ln(U) y que la derivada de ln(U) es exactamente 1/U.

Esta fórmula de la energía interna, es exactamente la que se obtiene de equiparación de energía. Puesto que la energía interna de un gas mono-atómico es exactamente la energía cinética traslacional

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