Aplicación De Las Derivadas

Introducción:

En un mundo de cambios e intereses de hacer todo por el menor costo (ya sea monetario e humano), hacer más eficientes los procesos, ya sean de: fabricación de herramientas, acerrado de manera, distribución de trabajo, horas de máxima afluencia, etc, es la manera en que las empresas optimizan su producción y por ende generar más ingresos. El tema escogido se encarga de que por medio de las derivadas y funciones, hallar matemáticamente cual es el método para poder obtener el máximo beneficio. Se explicara los pasos a seguir y porque se aplicándolo se llega a obtener las eficiencias de dichos procesos.

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

1-. Recta tangente

1.1-.Pendiente

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.

1.2-.Ecuación de la recta tangente

La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

2. Recta normal

2.1-.Pendiente

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

2.2-.Ecuación de la recta normal

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

3-.Crecimiento y decrecimiento

3.1-.Crecimiento

Si f es derivable en a:

3.2-.Decrecimiento

Si f es derivable en a:

3.3-.Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:

f(x) = x3 − 3x + 2

Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:

a. Derivar la función.

f '(x) = 3x2 −3

b. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.

3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1

c. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)

d. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

Si f'(x) > 0 es creciente.

Si f'(x) < 0 es decreciente.

Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.

f ' (-2) = 3(-2)2 −3 > 0

Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.

f ' (0) = 3(0)2 −3 < 0

Del intervalo ( 1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo.

f ' (2) = 3(2)2 −3 > 0

e. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

De crecimiento: (−∞, −1) (1, ∞)

De decrecimiento: (−1,1)

4-.Máximos y mínimos

4.1-.Máximos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

a. f'(a) = 0

b. f''(a) < 0

4.2-.Mínimos

Si f y f' son derivables en a, es un mínimo relativo o local si se cumple:

a. f'(a) = 0

b. f''(a) > 0

4.3-.Cálculo de los máximos y mínimos relativos

f(x) = x3 − 3x + 2

a. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

b. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

c. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

5-. Concavidad y convexidad

5.1-.Estudio de los intervalos de concavidad y convexidad

f(x) = x3 − 3x + 2

a. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

f''(x) = 6x 6x = 0x = 0.

b. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

c. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.

Si f''(x) > 0 es cóncava.

Si f''(x) < 0 es convexa.

Del intervalo (− ∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo.

f''(−1) = 6(−1) < 0 Convexa.

Del intervalo (0, ∞) tomamos x =1, por ejemplo.

f''(1) = 6 (1) > 0 Cóncava.

d. Escribimos los intervalos:

Concavidad: (0, ∞)

Convexidad: (− ∞, 0)

6-.Cálculo de los puntos de inflexión

f(x) = x3 − 3x + 2

a. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

b. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:

f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.

f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.

c. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.

f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexión: (0, 2)

Cálculo de los puntos de inflexión conociendo los intervalos de concavidad y convexidad

Los puntos de inflexión son los puntos de la función en que ésta pasa de cóncava a convexa o viceversa.

7-. TEOREMAS

7.1-.Teorema de Rolle

El teorema de Rolle dice que:

Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c (a, b) en el que f'(c) = 0.

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.

Ejemplos

1. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?

La función es continua en [0, 2].

No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x = 1.

7.2-. Teorema de Lagrange

7.2-.Teorema del valor medio

El teorema del valor medio o de Lagrange dice que:

Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:

La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.

El teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio, en el que f(a) = f(b).

Ejemplos

1. ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 4x2 − 5x + 1 en [0, 2]?

f(x) es continua en [0, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:

7.3-.Teorema de Cauchy

El teorema de Cauchy o teorema del valor medio generalizado dice que:

Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:

7.4-.Regla de L'Hôpital

Si , en donde f y g son derivables en un entorno de a y existe , este límite coincide con .

La regla de L'Hôpital se aplica directamente en las indeterminaciones:

Ejemplos

Si comparamos infinitos observamos que el numerador es un infinito de orden inferior al denominador, por tanto el límite es 0.

Indeterminación infinito menos infinito

En la indeterminación infinito menos infinito, si son fracciones, se ponen a común denominador.

Indeterminación cero por infinito

La indeterminación cero por infinito, se transforma del siguiente modo:

Indeterminaciones

En las sin determinaciones cero elevado cero, infinito elevado a cero y uno elevado a infinito; se realiza en primer lugar las siguientes operaciones:

Ejemplos

DIFERENCIALES

Sea y=f(x) una función diferenciable en algún intervalo abierto I , y sea h≠0 tal que x_0 y (x_0+h) pertenezcan al intervalo I en el Dominio de f .Entonces existe:

f^' (x_0 )= lim┬(h→0)⁡〖(f(x_0+h)-f(x_0))/h〗

Vemos, que eligiendo ε>0 tan pequeño como uno quiera, la diferencia:

|(f(x_0+h)-f(x_0))/h - f^' (x_0 ) |< ε

Se hace obviamente tan pequeña como uno quiera para los h≠0 dentro de una vecindad reducida V_δ^' (0) del 0,suficientemente pequeña también debido al valor de δ>0 .De este modo,si se define la función ϕ(h) en la forma:

ϕ(h)= (f(x_0+h)-f(x_0))/h - f^' (x_0 )…….(α)

Vemos que

lim┬(h→0)⁡〖ϕ(h)=0〗

...