Aprender Calculo

Aritmética

Índice

Fundamentos

• Axiomas de Peano

• Operaciones con números naturales

• Orden en N

• Sistemas de numeración

• Principio de Inducción

• Potencias de exponente natural

Curiosidades

• Cuadrado mágico

• Números triangulares

• Números cuadrados

• Números poligonales

• Números poligonales centrados

• Ternas pitagóricas

• Conjuntos de Sidon y Golomb

Temáticos

• Sucesiones: Aritméticas, geométricas, de Fibonacci, de Catalan, etc.

• Cuestiones diofánticas

• Fracciones continuas

• Sumas de cuadrados

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Fundamentos

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Axiomas de Peano

Existe un conjunto N compuesto por elementos llamados números naturales, relacionados entre sí por la relación "ser siguiente o sucesor " m= sg(n) que cumple estos cinco axiomas.

1. 1 es un número natural.

2. Si a es un número natural, entonces sg(a) también es un número natural

3. 1 no es siguiente de ningún número natural. (El 1 es el primero, no tiene precedentes)

4. De la igualdad sg(a)=sg(b) se deduce que a=b (Dos números diferentes no pueden tener el mismo siguiente)

5. Axioma de inducción: si un conjunto C de números naturales contiene al 1 y a los siguientes de cada uno de sus elementos entonces C=N (es decir, pertenecerían a él todos los números naturales)

Estos axiomas cumplen la compatibilidad, independencia y completitud.

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Operaciones con números naturales

A partir de los axiomas de Peano se define la suma de dos números naturales a+b mediante las definiciones a+1 = sg(a) y a+sg(b)=sg(a+b). A partir de esta definición se demuestra que es una operación interna con las propiedades

Asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c

Conmutativa: a+b=b+a

Cancelativa: Si a+c = b+c, entonces a=b

Esta última propiedad permite definir la resta, como a-b=x si y solo si b+x=a. Esta operación no es cerrada, porque si a es menor que b, no se pueden restar.

La multiplicación de dos números naturales se define a partir de: a*1=a y a*sg(b)=a*b+a

Esta operación posee las propiedades

Asociativa: a*(b*c) = (a*b)*c

Conmutativa: a*b=b*a

Elemento neutro: a*1=1*a=a

Distributiva respecto a la suma: a*(b+c) = a*b + a*c

Cancelativa: Si a*c = b*c, entonces a=b

Estas propiedades dotan al conjunto N de la estructura algebraica de anillo conmutativo con unidad.

La propiedad cancelativa permite definir la división exacta como a/b = x si y solo si b*x=a. Esta operación tampoco es cerrada.

Se define también la división entera como la operación, para dos números naturales a y b, que encuentra un cociente q y un resto r<b tales que a=b*q+r. Se puede demostrar que esta operación siempre es posible.

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Orden en N

Dados dos números naturales a y b, diremos que a es menor que b si existe otro número natural x tal que a+x=b

Igualmente, diremos que a es menor o igual que b si a es o bien menor o bien igual que b (en modo texto lo representamos como a<=b)

Esta relación es de orden, porque presenta las propiedades

Reflexiva: a<=a para cualquier a natural

Antisimétrica: Si a<=b y b<=a , entonces a=b

Transitiva: Si a<=b y b<=c, entonces a<=c

Este orden es total, porque dados dos números naturales a y b, se cumple siempre o que a<=b o que b<=a

El orden establecido por la relación <= posee la propiedad monótona respecto a la suma y el producto: Si a<=b, entonces a+c<=b+c y a*c<=b*c

Igualmente, el conjunto N está bien ordenado para la relación <=, porque todo subconjunto de N no vacío posee un elemento mínimo.

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Sistemas de numeración

Los números naturales, por su infinitud, necesitan un sistema de representación a partir de un número finito de símbolos. Para eso se inventaron los sistemas de numeración, como el romano, el decimal, etc.

Un sistema de numeración basado en la posición relativa usa la llamada Base del sistema, que es el número de unidades de orden inferior necesarias para obtener una unidad de orden inmediato superior. Coincide con el número de símbolos necesarios para escribir cualquier número en ese sistema de numeración. De esta forma, existirán tantos sistemas de numeración como bases distintas sean posibles, es decir, infinitas. Los más populares son los de bases 10 (decimal), 2 (binario), 8 (octal) y 16 (hexagesimal).

Para poder usar los sistemas de numeración hay que admitir el número 0, como representante de un lugar vacío el la expresión de un número.

Dispones de una calculadora en cualquier base

Los sistemas de numeración aditiva son aquellos en los que los valores de los símbolos se suman, sin que influya la posición relativa, como el sistema romano.

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Principio de inducción completa

Método de demostración de propiedades referentes a números naturales consistente en:

a. Demostrar la propiedad para n=1.

b. Demostrar que si la propiedad es cierta para n, también lo es siempre para n+1 (es decir, sg(n))

Con esto quedará demostrado que es cierto para todo n natural.

Por ejemplo. Demuestra así que la suma de los n primeros números impares es igual a n2.

Ver propuestas

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Potencia de un número natural con exponente natural

Llamaremos potencia de exponente k de un número natural n, y la representaremos por nk, al producto n.n.n….n de k factores iguales a n.

Propiedades:

• n0=1

• n1=n

• nk.nh=nk+h

• nk.mk=(nm)k

• nk/nh=nk-h

• nk/mk=(n/m)k

• (nk)h = nkh

• nk.nh=nk+h

• nk.mk=(nm)k

Sumas de potencias consecutivas

Σ n = n(n+1)/2

Σ n2 = n(n+1)(2n+1)/6

Σ n3 = n2(n+1)2/4

El resto de fórmulas son excesivamente largas.

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•

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Curiosidades

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Cuadrado mágico

Un cuadrado mágico es una matriz cuadrada de números (normalmente consecutivos y a partir de 1) en la que las sumas por filas, columnas y diagonales son todas iguales. Esta suma, si los números son 1,2,...n, deberá ser igual a n(n2+1)/2

Es famoso el cuadro Lo-Chu, formado por los números 1 al 9 dispuestos en tres filas y tres columnas y cuyas sumas son siempre 15

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Este cuadrado mágico posee muchas propiedades curiosas. Algunas de ellas son:

42+92+22 = 82+12+62

42+32+82 = 22+72+62

4922+3572+8162 = 2942+7532+6182

4382+9512+2762 = 8342+1592+6722

También es clásico el cuadrado de 16 números llamado Melancolía, por haber aparecido en un cuadro del mismo título de Alberto Durero. Todas sus filas y columnas suman 34. Además, en la parte inferior contiene la fecha de su realización 1514. Este cuadrado, grabado en una placa de plata, se usaba para protegerse de enfermedades.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Este cuadrado mágico también es hipermágico, porque sigue siendo mágico cambiando entre sí algunas filas o columnas.

También suman 34 sus cuatro vértices 16+13+4+1 y sus vecinos 5+8+9+12, 15+14+3+2. También los números centrales 10+11+6+7 y los "saltos de caballo" 5+2+12+15.

Existen 880 cuadrados mágicos de orden 4 y 275.305.224 de orden 5

Es notable el cuadrado mágico formado por números primos de Henry Dudeney

67 1 43

13 37 61

31 73 7

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Números figurados

Son números que se pueden disponer en forma de figura geométrica. Los más populares son:

Número triangular

Un número triangular es aquel cuyas unidades se pueden situar en forma de triángulo

Los primeros números triangulares son: 1, 3, 6, 10, 15, 21, …

En la figura se observa la generación de cada número triangular:

t1 = 1 = 1

t1 = 1+2 = 3

t1 = 1+2+3 = 6

t1 = 1+2+3+4 = 10

Todos siguen la fórmula T(n) = n(n+1)/2, con n=0, 1, 2, 3, …

Los números triangulares terminan en 0, 1, 3, 5, 6 u 8.

Otro resultado muy interesante es el de que la suma de los inversos de los números triangulares tiende a 2. Si quieres desarrollarlo basta que pienses que 1/3 = (2/2 - 2/3), 1/6 = (2/3 - 2/4) y así sucesivamente. Desarrolla la suma y verás anularse términos.

Comprueba lo siguiente: El número T(n) coincide con el número de soluciones positivas de la ecuación x+y+z=n+2.

Ver propuestas

Número cuadrado

Un número natural a se llama cuadrado cuando existe otro número natural n tal que a=n2.

Los primeros números cuadrados son: 1, 4, 9, 16, 25, …

En la figura se observa la generación de cada número cuadrado:

t1 = 1 = 1

t1 = 1+3 = 4

t1 = 1+3+5 = 9

t1

...