Aritmética de aprendizaje

Desde el punto de visto histórico, una de las cuestiones especulativas que ha provocado vivas discusiones en el estudio de la aritmética ha sido el origen de los números, y ha llevado a un gran número de investigaciones entre las lenguas primitivas y salvajes de la raza humana. ¿Cuándo comenzó la humanidad a pensar en términos de números? La tradición pretende que la ciencia matemática empezó en Grecia, hacia el siglo V a. C., pero los documentos históricos que poseemos actualmente nos permiten suponer la existencia de relaciones numéricas muy anteriores al nacimiento de las grandes civilizaciones antiguas. En los hechos actuales nada nos impide establecer el nacimiento de ciertas relaciones matemáticas en los primeros tiempos de la humanidad. Con la prehistoria, nos encontramos en la fase de las conjeturas. Nos vemos obligados a depender de interpretaciones que se basan en los pocos utensilios y documentos que se han conservado. Gracias a los trabajos de antropólogos y etnólogos podremos, sin embargo, intentar reconstruir el proceso natural que el hombre primitivo ha podido utilizar para enumerar objetos concretos o para tratar de hacer balance de los elementos contados.

En un principio, con anterioridad a la existencia de un lenguaje que favoreciera la comunicación verbal, el hombre primitivo podía observar en la naturaleza fenómenos cuantitativos tales como la diferencia entre un árbol y un bosque, una piedra y un montón de piedras, un lobo y una manada de lobos, etc. Estas primeras observaciones le condujeron a la noción de "correspondencia biunívoca", que otorga la posibilidad de comparar fácilmente dos conjuntos de seres u objetos, tengan o no la misma naturaleza, sin necesidad de cuenta abstracta. El objeto observado es el centro de la atención visual del hombre primitivo, y la desaparición de este objeto lleva consigo la pérdida del estímulo, la ausencia de número.

El hombre primitivo, a partir de estas observaciones, extrae de forma gradual la idea de comparación y asocia un signo a cada objeto observado. Es decir, utiliza la "correspondencia biunívoca" para asociar a una colección de objetos observados un grupo de signos o de cosas. Esta colección de signos puede ser muy variada: desde palitos y cortes, guijarros, conchas y cocos, incisiones o muescas sobre un palo, hasta los gestos de la mano (posiciones de la mano sobre una parte del cuerpo) o de la cabeza.

La práctica del tallado en huesos o trozos de madera es antiquísima. Según Ifrah (1998: 169), los primeros testimonios arqueológicos de ello datan de 35000 -20000 a. C. y se trata de un numeroso conjunto de huesos, cada uno marcado con una o varias series de muescas regularmente dispuestas, la mayoría encontrados en Europa occidental. Así, Boyer (1996: 22) menciona el descubrimiento, en Checoslovaquia, de un hueso perteneciente a un lobo joven, hueso sobre el que aparece una sucesión de cincuenta y cinco incisiones, dispuestas en dos series, por grupos de cinco. Ifrah (1998: 170-172) nos habla del hallazgo, en Brassempouy, Las Landas, de un punzón de asta de reno que tiene una talla longitudinal intercalada entre dos series de muescas transversales regularmente dispuestas, repartidas cada una en dos grupos: tres y sietes trozos por un lado, cinco y nueve por el otro.

Además de la práctica del tallado, el hombre pudo también recurrir a otros muchos intermediarios materiales: conchas, guijarros, frutos duros, dientes de elefante, nueces de coco, etc. con los que hacía montones o hileras correspondientes-a la cantidad que se necesitaba enumerar. Según Ifrah (1998: 58), muchos pueblos primitivos hacen lo mismo, pero empleando su propio cuerpo. Gilí (citado por Ifrah (1998: 58)) menciona que algunos isleños del estrecho de Torres « se tocan los dedos uno a uno, luego la muñeca, el codo y el hombro del lado derecho del cuerpo, luego el esternón, las articulaciones del lado izquierdo, sin olvidar los dedos de esa mano. Llegan así a 17. Si eso no basta, añaden los dedos de los pies, el tobillo, la rodilla y las caderas (de ambos lados). Obtienen así 16 más, por tanto 33 en total. Por encima de ese número, se ayudan con un paquete de palillos ». Otros isleños del estrecho de Torres emplean un procedimiento análogo con el que consiguen llegar hasta 19. Asimismo, los indígenas de las islas Murray se relacionan de igual forma con cierto números de partes del cuerpo llegando de esta forma hasta 29.

Una vez enumerado el grupo de objetos observados, tiene su aparición la numeración a través de un lenguaje articulado (escrito o hablado). Según Collette (1985: 7), la numeración presentará variantes según las tribus, debido a dos factores: primero, el lenguaje de la tribu determina las palabras de carácter numérico y, segundo, el medio en el que la tribu evoluciona determina el tipo de individuo y las necesidades específicas.

Sin embargo, la sustitución de los objetos por palabras del lenguaje no significa aún que el concepto de número esté en el pensamiento del que enumera. En esta etapa, el hombre primitivo, que asocia a tres objetos tres palabras distintas, no puede, sin palabras, pensar en el número tres. Según Collette (1985: 8), eliminar el soporte material del objeto observado, para no retener más que el elemento numérico al que corresponde en el proceso de numeración, equivale de hecho a exigir que el observador sea capaz de abstraer. Esta etapa decisiva se adquiere progresivamente y en la medida en que se distinguen dos conceptos importes: el número cardinal y el ordinal. Se trata de dos aspectos complementarios de la noción de número: el cardinal, que sólo se basa en el principio de emparejamiento, y el ordinal, que exige a la vez el proceso de emparejamiento y el de sucesión. Según Guedj (1998: 21) « ambas funciones, la cardinal y la ordinal, son inseparables. En la visión ordinal el número es visto como el eslabón de una cadena; en la visión cardinal, es cantidad pura. El cardinal mide, el ordinal ordena ». Según Dantzig (citado por Ifrah (1998: 78)) « hemos aprendido a pasar tan fácilmente del número cardinal al ordinal que ya no distinguimos esos dos aspectos del número entero. Cuando queremos determinar la pluralidad de objetos de un grupo, es decir, su número cardinal, ya no nos atenemos a la obligación de encontrar un conjunto modelo con el que podamos compararlo, simplemente lo "contamos". Y nuestros progresos en matemáticas se deben al hecho de haber aprendido a identificar esos dos aspectos del número ».

Según Collette (1987: 8), el hombre primitivo piensa en un número cuando capta bien las relaciones siguientes: primero, la naturaleza de los objetos que se van a contar no desempeña ningún papel en la numeración; segundo, el orden en el que los elementos son observados no influye en el resultado final, es decir, en el número cardinal; y tercero, el último elemento contado corresponde al número cardinal de la colección.

Consecuentemente, el paso difícil de dar consiste en reconocer al último elemento contado como aquél que expresa "cuántos elementos contiene el conjunto que se puede contar". ¿A qué nivel las tribus de hombres prehistóricos cumplieron las condiciones antes citadas? Según Collette (1985: 8) « esta pregunta permanecerá probablemente sin respuesta debido a la ausencia de documentos relativo a estas cuestiones ». Sin embargo, se puede observar, entre las tribus primitivas de comienzos de siglo XX, numerosas dificultades a la hora de contar: no se entienden, en general, más allá de los números 1 y 2 ó 1, 2 y 3. Según Lubbock (1987: 402,403) los buchmanos y los indios de los bosques brasileños eran incapaces de contar más allá de dos. Asimismo, los indígenas del cabo York tienen nombre para los números 1, 2 y 3, mientras que para cuatro dicen "ungatua", es decir "toda" (sobreentendiendo la mano). Veamos, a continuación, un relato que hace Galton (citado por Lubbock (1987: 403-405)) a cerca de las dificultades que ofrecen el lenguaje y la aritmética de los damaras.

« En la práctica los damaras no usan ningún número superior a tres. Cuando desean expresar cuatro, recurren a los dedos, que para ellos son instrumentos de cálculo tan formidable como el contador para un escolar. Pasando de cinco, se embrollan a falta de mano libre para coger y asegurar los dedos, que han de hacer veces de unidades. A pesar de todo rara vez pierden un buey; pero no es porque descubran la pérdida, sino por la ausencia de una figura conocida. Cuando venden carneros, hay que pagarles cada uno por separado; supóngase que el precio de un carnero sean dos rollos de tabaco; pues de seguro se desconcertaría un damara si cogieseis dos carneros y le dieseis cuatro rollos. Yo lo hice una vez, y vi al hombre poner aparte dos rollos, y mirar a uno de los carneros que estaba a punto de vender. Convencido de que uno de ellos estaba debidamente pagado, y advirtiendo con sorpresa que le quedaban exactamente dos rollos para cobrar el segundo, le asaltaron las dudas (...)y acabó por romper el trato, hasta que al fin le puse en la mano dos rollos, y separé el segundo carnero ». « Una vez que observaba yo a un damara enredado desesperadamente en una cuenta, a un lado mío, vi al otro lado a mi podenca Dinah, no menos apurada. Examinaba atentamente media docena de cachorros recién nacidos, que se le habían quitado dos o tres veces, y era excesiva su ansiedad, mientras procuraba darse cuenta de si estaban todos presentes o le faltaba alguno todavía. El animal se deshacía, recorriéndolos con la mirada, y yendo de una a otra parte, sin quedar satisfecho. Evidentemente tenía, aunque vaga, la idea de contar; pero la cifra era demasiado

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