CÁLCULO DE UNA VARIABLE

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ

INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICAS

SEMESTRE OCTUBRE 2022 – FEBRERO 2023[pic 3]

PROYECTO DE PROBLEMATIZACIÓN

Deberá enviar un documento en Pdf sobre el tema: límites, límites laterales y continuidad de una función en un punto; de acuerdo al contenido investigado por usted, deberá formular 7 preguntas las mismas que estarán enmarcadas entre sus dudas o inquietudes, una vez realizadas esas preguntas convendrá dar respuestas desde otra información consultada por usted con la finalidad de buscar otra fuente bibliográfica.

La tarea tendrá un valor de 7 puntos.

El mismo que debe constar entre 10 a 12 páginas, de la investigación. Si lleva ejercicios de 12 a 15 páginas.

Se calificará las preguntas y respuestas tipo cuestionario el mismo que debe ser no menos de 7 preguntas con sus respuestas.

El documento debe ser enviado con sus Nombres y Apellidos.

REQUISITOS DEL PROYECTO DE PROBLEMATIZACIÓN:

FACULTAD DE

ASIGNATURA: CÁLCULO DE UNA VARIABLE

LÍMITES, LÍMITES LATERALES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Nombre de Estudiante

XAVIER ANDRES GILER MENDOZA

Ing. Fabrina Cedeño Mendoza Mg. Sc

PORTOVIEJO-MANABÍ-ECUADOR

2022

1. INTRODUCCIÓN

EL desarrollo del presente proyecto de problematización corresponde al tema de límites, limites laterales y continuidad de una función en un punto. Abordará un amplio conocimiento que permitirá el desarrollo del contenido tomando en cuanta algunos tipos de límites y con sus respectivas propiedades, también las definiciones prácticas para el análisis y compresión de procesos.

 Los conceptos de límites y continuidad de una función real son dos de los conceptos básicos de los análisis matemáticos ya que, entre otras cosas, permiten conocer la forma y propiedades y características de las funciones reales, del respectivo análisis sobre las funciones se pueden conocer definiciones importantes como las derivadas e integrales de una función, las mismas que tienen una importancia en el estudio de optimización de funciones.

1. MARCO TEÓRICO…………………………… (Desarrolle aquí el tema)

LIMITES

Es el análisis real y complejo, es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor. En el análisis los conocimientos de series convergente, derivadas e integrales definida se fundamentan mediante el concepto de límite.

En el cálculo (especialmente en el análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir y conocer los conocimientos fundamentales e importantes de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Es decir, que la conceptualización de limite parece intuitivamente relacionado al concepto de distancia, en un espacio euclídeo que es la clave de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, esto hace definir rigurosamente la noción de límite.

La expresión de límite de una función se puede emplear en el cálculo diferencial matemático y se relaciona con la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite x

 en un punto t, esto quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos adecuadamente cercanos a t, pero totalmente distinto. Dentro de limites se podría decir que destaca la existencia de una teoría importante y esa es la teoría de sándwich, en aquel lo que establece es que, si dos funciones se destacan por el mismo limite en lo que se refiere a un punto determinado, cualquier otra función que se establezca entre ambas también compartirá con ellas el mismo límite.

LIMITE DE UNA SUCESION

La definición de limite matemático para el caso de una sucesión señala que los términos de la sucesión se acercan a un único número o punto L, si existe, para los valores grandes n. esta definición es muy semejante a la definición del cuando tiende a ∞.

Específicamente, se dice que la sucesión A tiende hasta su limite L o que converge o es convergente, y se denota de la siguiente manera:

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LIMITE DE UNA FUNCION

Es el análisis específico para funciones de una variable, puede hacer referencia de una definición de limite parecida a la de un límite de una sucesión, por ende, los valores que toman la función dentro es un intervalo o radio de convergencia que se van acercando a un punto de concreto. Se puede decir que el límite de una función f(x) cuando la x tiende a c es L y se escribe de la siguiente manera:

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LIMITE INFINITOS

Un límite infinito es cuando la función f(x) coge los valores que se está incrementando continuamente, se puede realizar la función tan grande como queramos. La función f(x) diverge a infinito.

Lo vamos a presentar cuando la variable tiende a +∞:

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LIMITES AL INFINTO

Un límite al infinito es todo aquel que tiende f(x) cuando la variable x aumenta su tamaño, tanto positivo como negativo. Entonces la función f(x) se puede tender a un determinado valor finito o se puede divergir a infinito. Y lo podemos observar de la siguiente manera:

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LIMITES LATERALES

En sistemas matemáticas, un límite unilateral es cualquier de dos límites de una función f(x) de una variable real X cuando X se acerca a un punto especifico, pudiendo ser este por la izquierda o derecha. Por otro lado, los limites laterales estudian el comportamiento de una función alrededor de un punto determinado. Existe el límite lateral por izquierda y el límite lateral por derecha, que se encarga de analizar el valor de la función respectivamente a la izquierda y a la derecha del punto en cuestión.

El límite lateral por izquierda se expresa con un signo menos en el punto donde se analiza el límite y en el caso del límite lateral derecho se reconoce con el signo más (+).

Limite lateral por la izquierda y limite lateral por derecha:

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En la siguiente imagen mostraremos el uso del límite lateral izquierdo representando con el signo (-) y el límite lateral derecho representando con el signo (+):

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Cuando hablamos del límite de una función en un punto es cuando sus límites laterales coinciden:

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Una función tiene límites si es que existen dos limites laterales y estos coinciden. El límite de una función f(x) en a, si existe este límite es único. Se podrían dar valores a X cada vez más próximos a A por la izquierda o por la derecha. Para así obtener el límite lateral por izquierda al que se denomina L_1 y/o el límite lateral por la derecha que se denominara como L_2.

Existen propiedades de los límites, que son las operaciones que se pueden emplear para simplificar en el cálculo del límite de una función. Al referirse a las operaciones también se puede denominar como algebra de los límites.

Algunas de las propiedades de los limites son: unicidad del límite, propiedad de la suma, propiedad de la resta, propiedad del producto, propiedad de la función constante, propiedad del factor constante, propiedad del cociente, propiedad de la función potencial, propiedad de la función exponencial, propiedad de la función potencial exponencial, propiedad de la raíz y propiedad logarítmica.

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CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Una función es continua en un punto si existe limite en él y si coincide o se asemeja con el valor que se la va a dar a la función en un punto. Lo contrario de la continuidad es la discontinuidad de una función en un punto, cuando no existe el límite o existiendo no coincide con el valor de la función en el mismo. La continuidad de f en x=a significa que tenga que cumplir tres condiciones:

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