Calculo Diferencial

Unidad 1. Funciones

Presentación de la unidad

En esta unidad conocerás el concepto de función, la representación algebraica, analítica y geométrica de la misma.

Por medio de la representación gráfica identificarás si una ecuación es función o no, y diferenciarás entre función polinómica, racional y función valor absoluto.

Además, revisarás las características de las funciones, es decir, si una función es creciente, decreciente, par, impar, periódica, etc.

Al final de la unidad elaborarás un mapa mental en el que muestres la definición de función con ejemplos de la vida cotidiana, la clasificación, etc., todo lo que hayas visto a lo largo de esta unidad.

En esta unidad:

• Diferenciarás cuando una ecuación es función o no.

• Identificarás las funciones algebraicas, trigonométricas y trascendentes.

• Representarás por medio de una función, una situación de la vida cotidiana.

• Realizarás operaciones entre funciones para realizar su representación gráfica o el resultado de la composición entre funciones.

Distingue la clasificación, características y operaciones de las funciones a través de analogías de la vida cotidiana para representarlas mediante una tabla, una gráfica o una ecuación.

1.1. Definición de función

Introducción

El concepto de función se utiliza día con día en la vida cotidiana, sin embargo, no se es consciente de ello.

¿Puedes creer que una persona que atiende un puesto de jitomates le asigne diferentes valores a una variable para determinar la cantidad que va a cobrar?

Por ejemplo, si deseas comprar ½ kilo de jitomates, 2 kilos, 3 kilos, 5 kilos, etc., dicha situación se puede representar con una función.

Por supuesto que es una función muy sencilla, pero advierte que ahí están las matemáticas y alguien las está aplicando, sin conocer términos específicos como: par ordenado, dominio y contradominio.

Tal vez te estés preguntando, ¿qué papel juegan éstos en la venta de jitomates?

Para contestar esta pregunta, primero debes conocer la definición de función y posteriormente la de los otros términos.

Una función es un conjunto de pares ordenados (x,y), en la cual no hay dos pares ordenados distintos que tengan el mismo primer elemento.

Es decir, si f es una función, el par ordenado (a, b) pertenece a la función y si (a, c) es otro elemento de la función, entonces b = c, de lo contrario, f no sería una función.

En pocas palabras, el primer elemento de un par ordenado no puede formar parte de otro. Si esto llega a ocurrir, el conjunto de pares ordenados no forman una función.

Una manera de determinar si una ecuación es una función o no, es la prueba de la recta vertical. Ésta nos ayuda a determinar si la ecuación es una función, tan sólo con observar su gráfica.

• Si todas las rectas verticales posibles cruzan la gráfica una sola vez o nunca, entonces la gráfica es una función.

• Si una sola recta vertical cruza la gráfica más de una vez, la gráfica no es una función.

Por ejemplo, la ecuación de una circunferencia con radio 2, no es una función, ya que para varios valores de x tiene dos valores de y. Observa la gráfica.

1.1.2. Representación gráfica de una función

Funciones

Existen funciones que pueden representarse fácilmente mediante una fórmula, sin embargo, no se puede hacer lo mismo para todas.

Para encontrar la fórmula adecuada utilizarás datos y procedimientos que te permitan hacerlo.

También es posible representar una función de manera gráfica, empleando la tabulación de algunos de sus datos o bien, por medio de una ecuación. Estas tres formas de representación están ligadas entre sí, ya que gracias a una de ellas se pueden encontrar las otras dos.

Actividad 1. Foro: Ejemplo de funciones

Para participar en el foro, es necesario que realices lo siguiente:

1. Elabora una gráfica para representar cada una de estas situaciones:

• Una tortillería permanece abierta de 9:00 a.m. a 5:00 p.m., cada hora se venden 30 kilos de tortillas.

Primero son 8 horas las que esta abierta la tortillería

n= numero de kilos vendidos por hora

p= precio por kilo

c= costo de los kilos vendidos

Si ponemos que el precio de la tortilla por kilo esta en 11 pesos

Y como nos indica el ejercicio que se vende 30 kg por hora

Tenemos como resultado lo siguiente

1.- a la primera hora se venden (11*30) kg = 330

2.- a la segunda hora se llevan vendido (11*60 )kg = 660

3.- a la tercera hora se lleva vendido (11*90) kg = 990

4.- a la cuarta hora se lleva vendido (11*120) kg = 1320

5.- a la quinta hora se lleva vendido (11*150) kg = 1650

6 a la sexta hora se lleva vendido (11*180) kg = 1980

7.- a la séptima hora se lleva vendido (11*210) kg = 2310

8.- a la octava hora se lleva vendido (11*250) kg = 2750

representación grafica

• El 2 de agosto de 2010 el dólar a la compra estaba en $12.587. El cajero de un banco desea elaborar una tabla por cada cinco dólares que compra.

Primero tenemos el costo por dólar que es de $12.587

Supongamos que el cajero comprara 30 dólares

Nos pide que hagamos la grafica del costo cada 5 dólares seria algo así

1.- primera compra de dólares 5*12.587 = 62.935

2.- segunda agregando 5dls tendríamos 10*12.587 = 125.87

3 .- tercera compra agregando 5 dls tendríamos 15*12.587 = 188.805

4 .- cuarta compra agregando 5 dls tendríamos 20*12.587= 251.74

5.- quinta compra agregando 5dls tendríamos 25*12.587= 314.675

6.- sexta compra agregando 5dls tendríamos 30*12.587= 377.61

2. Una vez que hayas realizado las gráficas, describe con una cadena de secuencias, los pasos que seguiste para elaborar cada una.

3. Organízate con dos de tus compañeros(as), e investiguen una situación de la vida cotidiana que pueda ser representada con una función. Traten de conseguir ejemplos en los que las empresas u organizaciones se puedan apoyar con el modelo de una función.

Por ejemplo, si la dueña de una papelería le aumenta el 50% del precio al que le costó cada producto, con una función como y = p + 0.5p, puede obtener los precios de cualquier producto. Además, sabrá fácilmente la cantidad que gana al final del día. Si vendió $3000, los puede obtener como $3000 = p + 0.5 (p), donde p = $1000 y es la ganancia que obtuvo al final del día.

4. Expresen la función que permita modelar el ejemplo que investigaron.

5. 5. Elijan un representante de equipo para que exponga su ejemplo en el Foro: Ejemplo de funciones.

6. 6. Recuerda, sólo un integrante expone el ejemplo en el foro, pero todo el equipo debe participar leyendo y comentando los ejemplos del resto de los (las) compañeros(as) de grupo.

1.1.3. Dominio y contradominio de una función

Retomando el ejemplo de la venta de jitomates, determinaremos el dominio y el contradominio. Recuerda que el precio de cada kilo es de $15.00 y la función es c = np.

Observa la tabla de valores:

El dominio de la venta de jitomates son todos los kilos que se venden a $15, si el precio cambia, tendríamos otra tabla y la gráfica sería diferente. Supón que se venden 100 kilos a $15, el dominio es {1, 2, 3, 4, 5, 6,…,100}.

El contradominio de la venta de jitomates sería la cantidad que se cobra por cada kilo. Supón que fueron 100, sería {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105,..., 1500}.

1.2. Clasificación de funciones

Una función es un término que expresa relaciones entre dos o más variables, las cuales se clasifican en algebraicas, trascendentales, así como en trigonométricas; sirven de conocimiento general en diversas aplicaciones.

En este tema conocerás los diferentes tipos de funciones, de acuerdo con las características de cada una y su aplicación en diferentes contextos.

1.2.1. Funciones algebraicas (polinómicas, racionales y función valor absoluto)

Función algebraica

Está formada por un número finito de operaciones algebraicas como la adición, sustracción, multiplicación,

división, potenciación y la radicación.

Un ejemplo de función algebraica son las funciones polinómicas

Función polinómica

Se forma por la suma y resta de polinomios de la variable independiente (a la que se le asignan valores).

Son de la forma:

Donde an los son constantes. Un ejemplo de esta función es

El grado de la función polinómica es 3.

Función racional

Se expresa por el cociente de dos funciones polinómicas, siempre y cuando el dominio de la función que

queda como denominador sea distinto de cero, por ejemplo:

Función valor absoluto

Se representa por Esta función traslada los valores negativos

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