Calculo Diferencial

CALCULO DIFERENCIAL

UNIDAD 1 NUMEROS REALES

1.1 LA RECTA NUMERICA

1.2 LOS NUMEROS REALES

1.3 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

1.3.1 TRICOTOMIA

1.3.2 TRANSITIVIDAD

1.3.3 DENSIDAD

1.3.4 AXIOMA DEL SUPREMO

1.4 INTERVALOS Y SU REPRESENTACION MEDIANTE DESIGUALDADES

1.5 RESOLUCION DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Y DE DESIGUALDADES CUADRATICAS CON UNA INCOGNITA

1.6 VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES

1.7 RESOLUCION DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO

1.1 LA RECTA NUMERICA

La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos.

La recta numérica. Aunque la imagen de arriba muestra solamente los números enteros entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando «ilimitadamente» en cada sentido.

Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en morado.

La recta numérica real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real. Se usa el símbolo para este conjunto.

Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.

1.2 LOS NUMEROS REALES

Los Números reales son aquellos que poseen una expresión decimal la unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales y recibe el nombre de Conjunto de los Números Reales.

Tipos de números reales

Un número real puede ser un número racional o un número irracional.

Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Se llaman números racionales a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (como una fracción común).Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica.

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes.

Un número es algebraico si existe un polinomio que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario.

Todos los números racionales son algebraicos: Sí i es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz del binomio qx=p.

Sin embargo, no se cumple el recíproco, no todos los números algebraicos son racionales.

1.3 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales. Conocer sus propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias experimentales, ciencias sociales, etc.

Sean , entonces se verifican las siguientes propiedades:

Propiedad Adición Multiplicación

Cerradura

Conmutativa

Asociativa

Distributiva

Identidad

Inverso

Propiedad de la cerradura

La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números reales, y el resultado será siempre un número real. Por ejemplo:

Importante:

La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO para la división, no se puede dividir entre cero.

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por ejemplo:

Importante:

La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por ejemplo:

Importante:

La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar las operaciones aritméticas.

Propiedad del inverso

La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.

el inverso aditivo para esta suma es el número

La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.

, el inverso multiplicativo para esta multiplicación es

Propiedad de identidad

La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma:

, el elemento neutro de la adición es el número CERO.

La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número que al ser usado como factor no cambia el resultado de la multiplicación:

, el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.

1.3.1 TRICOTOMIA

En particular, en los Números Reales, además de las propiedades de producto y suma (que en este conjunto son cerradas), se puede destacar una propiedad de vital importancia para la Matemática, que es el orden. En otras palabras es un conjunto ordenado.

1.3.2 TRANSITIVIDAD

Una relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.

1.3.3 DENSIDAD

En teoría de la probabilidad, la función de densidad de probabilidad, función de densidad, o, simplemente, densidad de una variable aleatoria continua es una función, usualmente denominada f(x) que describe la densidad de la probabilidad en cada punto del espacio de tal manera que la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro de un determinado conjunto sea la integral de la función de densidad sobre dicho conjunto.

1.4 INTERVALOS Y SU REPRESENTACION MEDIANTE DESIGUALDADES

Una desigualdad es de una forma: 10 + 3 es mayor que 6. Se le representa por: Desigualdad: 10 + 3 > 6

Esta desigualdad se transforma en inecuación, cuando se introduce una incógnita: Inecuación: 10 + x > 6

En la recta numérica existe una relación de orden.

Cuando tenemos dos puntos de la recta numérica A y B, se pueden dar una de tres alternativas:

A es mayor que B A > B

A es igual a B A = B

A es menor que B A < B

Entonces por lo siguiente:

A > B v A=B

Destacamos que a < b es equivalente a b>a y así con otras expresiones, que se pueden “dar vuelta”.

Intervalos en los Reales (IR)

La Expresión: {x IR / a < x < b} se conoce como Intervalo, representa al conjunto de todos los números reales que están entre otros dos reales “a” y “b” dados. En este caso x no puede ser ni “a” ni “b”.

Tipos de Intervalos:

Intervalo Abierto: Conjunto de números entre a y b, se simboliza por: ( )

Intervalo Cerrado: Conjunto de números entre a y b. Se simboliza por []

Intervalo Semiabierto por Derecha: Intervalo de puntos entre a y b, que incluye a “a” pero excluye a “b”. Simboliza: [ )

Intervalo Semiabierto por Izquierda: ( ]

1.5 RESOLUCION DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Y DE DESIGUALDADES CUADRATICAS

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