DISTRIBUCIONES

UNIDAD 2

NÚMEROS ALEATORIOS Y SEUDO ALEATORIOS

TAREA:

Consultar las 10 distribuciones de probabilidad más utilizadas.

-para cada una de ellas describir

a) Continua o discreta

b) Uso

c) Función de densidad

d) Ejemplos de aplicación

1.- DISTRIBUCIÓN NORMAL, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.

a) En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas.

b) Uso: Permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

c) Función de densidad

d) Ejemplos de aplicación

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:

• caracteres morfológicos de individuos como la estatura;

• caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;

• caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos;

• caracteres psicológicos como el cociente intelectual;

• nivel de ruido en telecomunicaciones;

• errores cometidos al medir ciertas magnitudes;

• etc.

La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.[1] Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una supuesta "normalidad".

Ejemplo:

Las estaturas de 600 soldados se distribuyen de acuerdo a una distribución normal de media 168 y desviación típica 8 cm. ¿Cuántos soldados miden entre 166 y 170 cm?

Sea X la distribución de los soldados, X es una N (168,8). Nos piden p(166 ≤ X ≤ 170).

Utilizando el resultado anterior, primero restamos x=168 en la desigualdad:

P (166 ≤ X ≤ 170) = p(166 − 168 ≤ X − 168 ≤ 170 − 168) = p(−2 ≤ X − 168 ≤ 2)

Y ahora dividimos entre σ = 8, con lo que acabamos de tipificar:

p(166 ≤ X ≤ 170) = p(−2 ≤ X − 168 ≤ 2) =

Llamando a X – 168/8 = Z, ´esta ya es normal N (0,1) y se encuentra en las tablas:

p(166 ≤ X ≤ 170) = p(−0’25 ≤ Z ≤ 0’25) = p(Z ≤ 0’25) − p(Z ≤ −0’25) =

= (tablas) =0’ 5987 – 0’4013 = 0’1974.

(Pues p (Z ≤ −0’25) = p(Z ≥ 0’25) = 1 − p(Z ≤ 0’25) = 1 – 0’5987 = 0’4013).

2.- DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL

a) discreta

b) Uso

El atributo calidad de un producto se puede dar como: Excelente, bueno, regular y malo.

1. Son n pruebas o ensayos repetidos e idénticos (con reposición).

2. En cada prueba o ensayo se pueden producir k resultados.

3. Las probabilidades de cada uno de los k resultados (p1, p2,…pk) permanecen constantes en todas las pruebas o ensayos.

4. Son pruebas o ensayos independientes.

5. El interés se centra en contar los x1,x2,…xk éxitos que se producen en los n ensayos de cada una de las k categorías posibles de observar cada vez.

c) Función de densidad

Dónde:

X1 = x1: indica que el suceso X1 aparezca x1 veces (en el ejemplo, que el partido POPO lo hayan votado 3 personas)

n: indica el número de veces que se ha repetido el suceso (en el ejemplo, 5 veces)

n!: es factorial de n (en el ejemplo: 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

p1: es la probabilidad del suceso X1

d) Ejemplos de aplicación

En una fiesta, el 20% de los asistentes son españoles, el 30% franceses, el 40% italiano y el 10% portugueses. En un pequeño grupo se han reunido 4 invitados: ¿cual es la probabilidad de que 2 sean españoles y 2 italianos?

Aplicamos el modelo:

Luego

P = 0,0384

Por lo tanto, la probabilidad de que el grupo esté formado por personas de estos países es tan sólo del 3,84%.

3) DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

a) discreta

b) Uso:

Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:

a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.

b)

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