Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas: una perspectiva evolutiva

Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas: una perspectiva evolutiva

Difficulties in the mathematics learning: an evolutionary perspective

Josetxu Orrantia

Doctor em Psicológia. Profesor Titular en el Departamento de Psicologia Evolutiva y de la Educación de la Universidad de Salamanca

Correspondência

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RESUMEN

El objetivo de este trabajo es plantear un marco teórico de carácter evolutivo que nos permita analizar y comprender las dificultades que surgen en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Para ello, comenzaremos revisando cómo se desarrolla el pensamiento matemático de los niños, ya que asumimos que las dificultades en el aprendizaje surgen en este proceso evolutivo. Posteriormente, analizaremos algunas de las dificultades, centrando nuestra atención en las dificultades relacionadas con el cálculo y la resolución de problemas.

Palabras clave: Matemática. Solución de problemas. Cognición. Niño.

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SUMMARY

The aim of this paper is to describe a theoretical frame from a developmental point of view which will allow us to analyze and understand the difficulties that the teaching and learning process implies. In order to do so, we'll start reviewing how the children's mathematical thinking develops, because we assume that learning disabilities arise from this developmental process. Afterwards we analyze some of the difficulties, focusing at the difficulties related to the computation and problem solving.

Key words: Mathematics. Problem solving. Cognition. Child.

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INTRODUCCIÓN

El aprendizaje de las matemáticas supone, junto a la lectura y la escritura, uno de los aprendizajes fundamentales de la educación elemental, dado el carácter instrumental de estos contenidos. De ahí que entender las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas se haya convertido en una preocupación manifiesta de buena parte de los profesionales dedicados al mundo de la educación, especialmente si consideramos el alto porcentaje de fracaso que presentan en estos contenidos los alumnos y alumnas que terminan la escolaridad obligatoria. A esto hay que añadir que la sociedad actual, cada vez más desarrollada tecnológicamente, demanda con insistencia niveles altos de competencia en el área de matemáticas.

En este contexto, el objetivo de estas páginas es plantear un marco para analizar y entender las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas, para que, desde este análisis, podamos imaginar la respuesta educativa que podemos ofrecer a los alumnos que presentan estas dificultades. Para ello, antes es necesario acotar lo que vamos a entender por dificultades en el aprendizaje de las matemáticas, puesto que los contenidos de matemáticas pueden ser muy diversos. Así, las dificultades pueden aparecer en contenidos como la geometría, la probabilidad, la medida, el álgebra o la aritmética. Pero muchos estamos de acuerdo en que es en la aritmética donde los alumnos encuentran más dificultades, puesto que estos son los contenidos a los que se enfrentan en primer lugar, además de que posiblemente sean la base sobre la que se asientan los demás contenidos. Por lo tanto, en las próximas páginas vamos a centrarnos en el aprendizaje de la aritmética y sus dificultades.

Ahora bien, muchos pueden estar pensando que al reducir los contenidos de las matemáticas a la aritmética nuestro interés se dirigirá fundamentalmente a los números y las operaciones básicas, dado que estos son los aspectos sobre los que tradicionalmente ha girado la enseñanza de la aritmética. Esto es parcialmente cierto. Como ya hemos expuesto en diversas ocasiones1-3 los números y especialmente las operaciones tienen sentido cuando se aprenden en el contexto de la resolución de situaciones problemáticas. Por decirlo de otra manera, las operaciones básicas deberían estar al servicio de la resolución de problemas y no al contrario, como generalmente se ha enfocado la enseñanza de la aritmética al utilizar los problemas como un mero ejercicio de las operaciones; esto es, el alumno aprendía a sumar y resolvía numerosos problemas de sumas con el fin de ejercitar la operación hasta llegar a automatizarla.

Nuestra intención es dar la vuelta a este planteamiento y considerar la resolución de problemas como eje fundamental para el proceso de enseñanza/aprendizaje de la aritmética, sin con esto despreciar las operaciones, sino entendiéndolas como un componente más de la resolución de problemas.

De esta manera, en estas páginas vamos a plantear las dificultades que pueden encontrar los alumnos en estos contenidos. Para ello, llevaremos a cabo un análisis de la aritmética, concretamente de su proceso de desarrollo, para, desde este análisis, interpretar algunas de las dificultades que pueden surgir en este proceso. Así, comenzaremos planteando cómo se adquieren y que desarrollo siguen los contenidos aritméticos básicos, distinguiendo entre aquellos que surgen desde la experiencia informal, es decir, que no implican una enseñanza explícita, y los que se adquieren a través de la enseñanza formal. En los primeros abordaremos algunos aspectos del desarrollo del número, considerando dos elementos clave: el conteo y los esquemas de razonamiento protocuantitativos. A continuación nos centraremos en el análisis de las situaciones problemáticas a las que los alumnos de enfrentan de manera informal, así como en las estrategias de conteo que utilizan para su resolución. En la aritmética más formal centraremos la atención en el análisis del proceso de resolución de problemas propiamente dicho y en las operaciones básicas. Cerraremos con la revisión de algunos de los factores que pueden explicar las dificultades que los alumnos encuentran en estos contenidos.

EL DESARROLLO DE LA ARITMÉTICA

Aritmética informal: las primeras nociones aritméticas

Hablar del desarrollo de la aritmética en particular o del desarrollo del pensamiento matemático en general supone mencionar, aunque sea brevemente, los planteamientos piagetianos sobre esta cuestión.

Para Piaget el conocimiento matemático se desarrolla como consecuencia de la evolución de estructuras más generales, de tal manera que la construcción del número es correlativa al desarrollo del pensamiento lógico. Los niños antes de los seis o siete años de edad son incapaces de entender el número y la aritmética porque carecen del razonamiento y conceptos lógicos necesarios. Y aunque aprenden a recitar la serie de números desde muy pequeños, para el psicólogo de Ginebra serían actos completamente verbales y sin significado alguno.

Desde este planteamiento, la comprensión del número se relaciona con la aparición del estadio operacional donde aparecen los requisitos lógicos del número. Antes no piensan de forma operatoria, dado que cuando han acabado de ejecutar una acción no son capaces de recordar el aspecto que tenía antes. En términos piagetianos no han conseguido la reversibilidad, dado que no pueden deshacer mentalmente sus acciones. En este sentido, su pensamiento está dominado por datos perceptuales, como se demuestra en sus famosos trabajos sobre la conservación y la clasificación. En un experimento típico de la conservación se presenta al niño por ejemplo dos filas de fichas, una con fichas azules y otra con fichas rojas, en correspondencia biunívoca, y a continuación se separan las fichas de una de las filas ante los ojos del niño. Los niños preoperatorios ya no consideran que las dos filas tengan el mismo número de fichas. Esto ocurre porque cuando se separan las fichas el niño no es capaz de imaginárselas en su posición original, guiándose a la hora de hacer juicios por variables perceptivas.

Por otro lado, en los experimentos sobre clasificación se enseña por ejemplo un conjunto con dos bolas de madera rojas y siete azules. Los niños son capaces de decir que son todas de madera y que hay más bolas azules que rojas. Sin embargo, cuando se les presenta la pregunta "¿qué hay más: bolas azules o bolas de madera?", los niños preoperatorios dicen que hay más bolas azules, dado que el dominio perceptivo de la cantidad de bolas azules interfiere con la consideración de que todas son de madera; parece incapaz de comparar un subconjunto con su propio superconjunto.

Es precisamente en el estadio de las operaciones concretas donde desaparece esta dependencia de las variables perceptivas o esta incapacidad para pensar de forma reversible. En este estadio aparece la adquisición del pensamiento lógico, la comprensión de las clases, las relaciones y las correspondencias biunívocas. En definitiva, un verdadero concepto del número y una manera significativa de contar. Desde este punto de vista, el desarrollo del número es para Piaget una cuestión de "todo o nada", puesto que, hasta que no cuente con los conceptos lógicos, el niño va a ser incapaz de comprender el número y la aritmética.

En este contexto, es fácil comprender que la enseñanza del número es inútil, puesto que antes es necesario desarrollar los requisitos lógicos. Sin embargo, están apareciendo cada vez más autores que no están de acuerdo con este enfoque del desarrollo del número, y que piensan que los niños pueden aprender mucho acerca de contar, del número y de la aritmética antes de poder conservar.

A raíz del influyente trabajo de Gelman y Gallistel4 sobre el desarrollo temprano del conteo, se empezó a demostrar que, contrario a lo

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