ESTADISTICA INFERENCIAL

ESTADISTICA INFERENCIAL

ESTUDIANTES

 ERIKA BOLAÑOS ARAGON ID: 642036
MIGUEL SANTANA SOTO ID: 633935
YONATHAN RINCÓN HIGUERA ID: 632025
ANDERSSON STIVEN CASTRO ROCHA ID: 634297

 EDWIN STEVEN HERREA V
NRC: 157

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS UNIMINUTO

ADMINISTRACIÓN EN SEGURIDAD Y SALUD EN EL TRABAJO

7º SEMESTRE – FACATATIVÁ 2020

Teorema del límite central

En una fábrica de baterías aseguran que su producto tiene una vida útil de 6000 horas en promedio, con una desviación estándar de 530 horas. En una auditoria la superintendencia de industria y comercio selecciona una muestra de 200 para establecer si es verdad lo que esta compañía asegura en publicidad. Calcule la probabilidad de:

• Que la vida útil de las baterías de la muestra se mayor de 6100.
• Que la vida útil de las baterías de la muestra se menor de 5880.
• Que la vida útil de las baterías de la muestra está entre 5895 y 6140.
• Que la vida útil de las baterías de la muestra está entre 5870 y 5990.
• Que la vida útil de las baterías de la muestra está entre 6050 y 6160.

Como bien se sabe del teorema del límite central afirma que se puede aproximar una función de distribución a distribución normal si se obtiene un tamaño de muestra lo suficientemente grande de la población x (30). En este caso el comportamiento de la vida útil de las baterías se aproximará a una distribución normal ya que el número de muestras es mayor a 30. Los valores que se conocen son:

[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

La grafica de la función de probabilidad se muestra a continuación:

[pic 4]

Grafica de la distribución normal de la vida útil de las baterías.

Para cada caso se pide la probabilidad de que se presenten tales situaciones. El procedimiento empieza con una normalización de los datos, en donde la anterior grafica se transforma a la siguiente:

[pic 5]

Grafica de la distribución normal.

La cual como bien se observa tiene la misma forma, con la diferencia que el punto 0 indica la posición de la medio o promedio, además de tener valores aproximadamente de 3 desviaciones estándar hacia arriba y hacia abajo del promedio, la idea de realizar un cambio de grafica permite obtener la probabilidad de manera más sencilla usando la siguiente tabla:

[pic 6]

Tabla de la distribución normal

El cálculo de la probabilidad se obtiene normalizando los datos con la siguiente ecuación, la cual se obtiene del Teorema del límite central:

[pic 7]

Seguido, una vez obtenido el valor de , este se ubica en la tabla para obtener la probabilidad según sea el caso.[pic 8]

• Que la vida útil de las baterías de la muestra se mayor de 6100 horas

[pic 9]

Reemplazando:

[pic 10]

[pic 11]

Una vez ubicado Z, el respectivo valor de la tabla expresa la probabilidad de que en este caso la vida útil de baterías sea menor o igual a 6100 horas, es decir:

[pic 12]

Para obtener la probabilidad de que sean mayor se procede a:

[pic 13]

A continuación, se observa la gráfica de la probabilidad. En la parte inferior se observa sombreada el área que corresponde a la probabilidad en cuestión, la cual se encuentra por encima de 6100 horas y que además es muy pequeña.

[pic 14]

• Que la vida útil de las baterías de la muestra se menor de 5880

[pic 15]

Reemplazando:

[pic 16]

[pic 17]

Ubicando el valor de Z se obtiene:

[pic 18]

Su respectiva grafica es:

[pic 19]

La grafica no permite notar una porción de curva sombreada ya que la probabilidad es casi 0.

• Que la vida útil de las baterías de la muestra está entre 5895 y 6140

Para obtener esta probabilidad se realiza los anteriores pasos por separados para cada cantidad de horas de vida útil de las baterías:

Para 5895

[pic 20]

Reemplazando:

[pic 21]

[pic 22]

Ubicando el valor de Z se obtiene:

[pic 23]

Para 6140

[pic 24]

Reemplazando:

[pic 25]

[pic 26]

Ubicando el valor de Z se obtiene:

[pic 27]

Posteriormente se restan las respetivas probabilidades de la siguiente manera:

[pic 28]

[pic 29]

Tal y como se observa en la gráfica se observa a continuación, y según el valor de la probabilidad a razón de ser tan alta, debería sombrearse casi por completo la curva:

[pic 30]

• Que la vida útil de las baterías de la muestra está entre 5870 y 5990

Para 5870

[pic 31]

Reemplazando:

[pic 32]

[pic 33]

Ubicando el valor de Z se obtiene:

[pic 34]

Para 5990

[pic 35]

Reemplazando:

[pic 36]

[pic 37]

Ubicando el valor de Z se obtiene:

[pic 38]

Posteriormente se restan las respetivas probabilidades de la siguiente manera:

[pic 39]

[pic 40]

La grafica se observa a continuación:

[pic 41]

• Que la vida útil de las baterías de la muestra está entre 6050 y 6160

Para 6050

[pic 42]

Reemplazando:

[pic 43]

[pic 44]

Ubicando el valor de Z se obtiene:

[pic 45]

Para 6160

[pic 46]

Reemplazando:

[pic 47]

[pic 48]

Ubicando el valor de Z se obtiene:

[pic 49]

Posteriormente se restan las respetivas probabilidades de la siguiente manera:

[pic 50]

[pic 51]

La grafica se observa a continuación:

[pic 52]

Conclusión:

La mejor conclusión que la superintendencia puede obtener tras realizar las anteriores 5 pruebas es que la vida útil del 98,12% de las baterías esta entre 5895 y 6140 horas. Por otra parte la probabilidad de que una batería tenga una vida útil menor a 5880 es aproximadamente 0, mientras que la probabilidad de que la vida útil de una batería sea mayor a 6100 horas es aproximadamente 0 (0,3%).

Prueba de Hipótesis:

• Una empresa de taxis decide hacer una encuesta sobre sus vehículos, se escogieron 100 del parque automotor y se obtuvo en que los últimos 6 meses estos vehículos recorrieron 12500Km con desviación estándar de 2400km, Probar la hipótesis en donde los taxis se condujeron 12000km frente a la alternativa de que el promedio es superior. A un nivel de significancia del 5%.

De acuerdo con lo que se sabe del procedimiento de hipótesis, se tiene siempre un par de ellas, las cuales son mutuamente excluyentes, una hipótesis nula y una hipótesis alternativa. Con base en el enunciado el planteamiento, las hipótesis son:

[pic 53]

[pic 54]

Cabe mencionar que las hipótesis anteriores se realizan en función del promedio. De acuerdo con lo visto en clase para determinar la validez de una hipótesis o de la otra debe determinarse la zona de aceptación y rechazo de la hipótesis nula, de acuerdo con la siguiente gráfica:

[pic 55]

Allí se observa en primer lugar que obedece a la gráfica de una distribución normal y que la curva se divide en una región de rechazo y una región de aceptación, (Esta grafica puede cambiar de acuerdo con el tipo de Hipótesis que se plantee) en donde estos límites se obtienen una vez ubicados los puntos críticos sobre la gráfica, el cual a su vez está dado por el nivel de aceptación con la que se realiza el análisis, en este caso es del 5%.

Para el ejercicio, se empieza con la formulación de hipótesis

[pic 56]

[pic 57]

Seguido se realiza el cálculo del punto crítico de la siguiente manera. De las hipótesis se sabe que se obtendrá una única zona de rechazo y se ubicará en la izquierda

[pic 58]

Se sabe que Zc es un valor en la tabla de distribución, por lo que para encontrarlo se procede a buscar en la tabla el valor de 5% es decir 0.05 y luego ubicar Z (procedimiento contrario), el cual corresponde a 1,64, la siguiente grafica muestra la zona de rechazo sombreada y que equivale al 5% y la de aceptación de la hipótesis nula que es del 95%.

[pic 59]

Se procede a obtener el valor de prueba, mediante la normalización de acuerdo con la siguiente ecuación (el número de muestras es mayor a 30):

[pic 60]

Del enunciado se sabe:

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

Reemplazando en la ecuación:

[pic 65]

[pic 66]

Después de ubicar Z en la tabla se observa que este cae en la zona de rechazo, en la parte sombreada, lo cual implica que la hipótesis nula se rechaza y por ende la hipótesis alternativa se acepta.

[pic 67]

En donde el punto a es el punto critico y el punto b es el punto de prueba. En conclusión, la empresa puede decir que: Los taxis durante los últimos 6 meses se condujeron más 12000Km

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