Ecuaciones Diferenciales Aplicadas

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL VALLE DE TOLUCA

DIRECCIÓN DE MECATRÓNICA Y SISTEMAS PRODUCTIVOS

MATERIA: Ecuaciones Diferenciales aplicadas

TEMA DE INVESTIGACIÓN: Antecedentes y Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales en el Campo de las Ciencias.

ALUMNOS:

Reynoso Reynoso Eudocio

De la Cruz Escobar Edgar

Mercado Quiroz Omar

Contenido

Introducción 3

Terminología 4

Antecedentes de las Ecuaciones Diferenciales 5

Aplicación de las Ecuaciones Diferenciales 6

Aplicación de las Ecuaciones Diferenciales en Mecatrónica 7

Conclusión 11

Introducción

Las ecuaciones diferenciales expresan leyes y relaciones físicas que se aplican en la ingeniería, ciencias, informática, administración, economía e incluso en nuestra vida personal. Mediante ellas podemos probar teorías y sustentar experimentos que una persona desee dar a conocer. Además se ha comprobado que a través del constante estudio y resolución de ecuaciones diferenciales podemos mejorar nuestro razonamiento para problemas comunes.

La definición más común para una ecuación diferencial es “una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas” ( ). En esta ecuación representa una función no especificada de la variable independiente .

En álgebra los valores buscados para las incógnitas son números; En ecuaciones diferenciales los valores a determinar son funciones; es decir, que la incógnita representa una función.

Las ecuaciones diferenciales pueden ser clasificadas en ordinarias ó no ordinarias. Si la función incógnita depende de más de una variable entonces diremos que la ecuación diferencial es no ordinaria (parcial). En el caso en que la función incógnita depende de solo una variable independiente estaremos hablando de una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O).

En el presente ensayo analizaré las características y principales aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Terminología

Ecuación: Es una relación de igualdad donde aparecen una o más incógnitas.

Incógnita: Es una entidad desconocida que es preciso determinar.

Solución: Valor que al ser sustituido por la incógnita en la ecuación queda una identidad.

Identidad: Es una igualdad matemática que siempre es verdadera.

Resolver una Ecuación: consiste en determinar los valores para la o las incógnitas que son solución a la ecuación.

Ecuación Diferencial: Es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una función incógnita.

Ecuación Diferencial Ordinaria: Si la función incógnita depende sólo de una variable independiente.

Orden: Es el número mayor de veces que la función incógnita aparece derivada en la ED.

Grado: de una ED es el exponente algebraico mayor al cual aparece elevada la mayor derivada en la ED.

Ecuación Diferencial Lineal: Aquella con la forma:

Función Explícita: Si la variables que representa la función en la ecuación está despejada.

Antecedentes de las Ecuaciones Diferenciales

El descubrimiento de Newton y Leibniz en el siglo diecisiete sobre las ideas básicas del cálculo integral fue crucial para el avance que sufrieron las matemáticas, y más importante fue, si cabe, la relación que encontraron entre el cálculo integral y el diferencial, ya que consiguieron fundirlos en uno solo. Una de las aplicaciones de este descubrimiento fue la física aplicada, dícese, la Ingeniería.

El maestro de Newton, Isaac Barrow, conocía ya la existencia de la relación entre la tangente en un punto a una curva (derivada) y el área de una región limitada de una curva (Integral Definida), pero fueron Newton y Leibniz los que comprendieron la importancia de esa relación.

La derivada se utilizó, en principio, para el cálculo de la tangente en un punto, y pronto se vio que también servía para el cálculo de velocidades, y en consecuencia para el estudio de la variación de una función.

Desde los primeros pasos en el cálculo diferencial, de todos es conocido que dada una función y = f(x), su derivada dx/dy = f’(x), en forma de diferencial de una función de una sola variable, es también una función que se puede encontrar mediante ciertas reglas como el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que nos muestra la vinculación entre la derivada de una función y la integral de dicha función ; si F(x) es la función integral que debe ser integrable en el intervalo [a,x] para cada x de [a,b], siendo c tal que a≤ c≤ b.

Tenemos que f(x) = ∫ ft (dt) si a≤x≤b, existe entonces F”(x) en cada punto x del intervalo abierto (a,b), en el que f es continua, y para tal x tenemos F’(x) = f(x) quedando demostrado la relación entre Integral y Derivada.

Aplicación De Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Formulación del Planteamiento Científico

Las leyes científicas, que por supuesto están basadas en experimentos u observaciones, se traducen en ecuaciones matemáticas. En cada caso las ecuaciones diferenciales representan una simplificación idealizada del problema físico con el que nos encontramos, llamándose esta idealización Modelo Matemático. Cada modelo es una aproximación a la realidad del problema físico, su aproximación y uso del modelo

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