Ecuaciones Diferenciales Ordinaruas

ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas o diferenciales. Si una ecuación contiene solo derivadas de una función de una variable, entonces se dice que es ordinaria. Una ecuación diferencial parcial contiene derivadas parciales. En este capítulo se desarrollan algunos métodos para resolver los tipos básicos de ecuaciones diferenciales ordinarias. La intención de este análisis no es una disertación sobre el tema sino bien servir de introducción a esta área tan vasta y a la vez tan importante de las matemáticas.

ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES

Una ecuación en la que aparecen x,y, y´y´´,... y y(n) , donde y es una función de x y y (n) es la n-esima derivada de y con respecto a x, es una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Los siguientes ejemplos son ecuaciones ordinarias del orden especificado:

ORDEN 1: Y´=2x

ORDEN 2: D²y / dx² + x²( dy / dx )³ - 15y= 0

ORDEN 3: ( y¨¨)4 – x²(y¨ )5 + 4xy = x ex

ORDEN 4: (d 4y /dx4 ) - 1 = x³ dy/ dx

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Las ecuaciones diferenciales del siguiente tipo aparecen muchas veces en el estudio de los fenómenos físicos.

DEFINICION

Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de la forma: Y´ + P(x)y = Q(x) Donde P y Q son funciones continuas. .

Q(x) = 0 para todo x, se obtiene y´ + P(x) = 0 que es separable. Concretamente se puede escribir:

1 dy = - P(x) o bien 1 dy = - P(x) dx

y dx y

siempre que y =/= 0. Integrando se obtiene

In |y| = - ¦P(x)dx + In |C|.

La constante de integración se ha expresado como In |C| para cambiar la forma de la última ecuación, como sigue:

Ln|y| - ln|C| = - ò P(x) dx

ln|y/C| = - ò P(x) dx

y/c = e ò p(x)dx = C

ahora se observa que

d [y e ò p(x)dx ] = Q(x) y e ò p(x)dx

= e ò p(x) dx [y¨+ p(x)y]

Por lo tanto si se multiplican por e f p(x)dx, ambos lados de y´+ P(x)y =Q(x), la ecuación resultante puede escribirse como

Dx [ye f P(x)dx ] = Q (x) e f P(x)dx

Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene la siguiente solución implícita de la ecuación diferencial lineal de primer orden en la definición anterior.

ye f P(x)dx ] = Q (x) e f P(x)dx dx + K

donde K es una constante. Despejando y de esta ecuación se obtiene una solución explícita. Se dice que la expresión e f P(x)dx es un factor de integración (o integrativo) de la ecuación diferencial. Quedó demostrado el siguiente resultado.

TEOREMA

La ecuación diferencial lineal de primer orden y´ + P(x)y = Q(x) se puede transformar en una ecuación diferencial separable multiplicando ambos lados de la ecuación por el factor de integración e f P(x)dx .

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

La siguiente definición es una generalización

DEFINICION 3

Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación de la forma

Y(n) + ƒ1 (x) y(n-1) + . . . ƒ n-1 n(x)y´ + ƒ n (x) y = k (x) donde ƒ 1 ƒ2 ...ƒn y k son funciones de una variable que tienen el mismo dominio. Si k(x) = 0 para todo x, se dice que la ecuación es homogénea. Si k(x) 0 ¹ para algún x, se dice que la ecuación es no homogénea.

La forma general de la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes es

Y´´ + by´+cy = 0

Donde b y c son constantes. Antes de tratar de obtener soluciones particulares se demuestra el siguiente resultado.

TEOREMA

Si y = ƒ(x) y Y = g(x) son soluciones de y´´ + by´+ cy = 0, entonces

Y = c ƒ (x) + c g(x) + c g(x)

Es una solución para todos los números reales C y C

DEMOSTRACION Como ƒ(x) y g(x) son soluciones de y´´ + by´+ cy = 0

ƒ´´(x) + bƒ´(x) + cƒx = 0

y

g´´(x) + bg´(x) + cg(x) = 0

si se multiplica la primera ecuación por C1, la segunda por C2 y se suman, el resultado es:

[C1 ƒ´´(x) + C2 g´´(x)] + b[C1 ƒ(x) + C1 g´´(x)] + c[C2 (x)] = 0

por lo tanto, C1 ƒ(x) + C2 g (x) es una solución.

DEFINICION

La ecuación auxiliar de una ecuación diferencial y´´ + by + cy = 0 es m² + bm + c = 0

Obsérvese que la ecuación auxiliar

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