Unidad 2 - Fase 3. Ecuaciones Diferenciales de Orden superior

Unidad 2 - Fase 3. Ecuaciones Diferenciales de Orden superior

Presentado Por

Luis Enrique Blanco Tarazona… Código – 1073159251

David Elías Páez Fonseca… Código - 1065581657

Ana María Crespo… Código -

Jehefer Steven López… Código -

Paula Andrea Trucco… Código -

Ecuaciones Diferenciales - 100412_312

Presentado a

Mónica Marcela Peña

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

José Acevedo Y Gómez

Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería

Bogotá D.C, octubre de 2017

INTRODUCCION

Una ecuación diferencial ordinaria de orden superior es una expresión que relaciona una variable dependiente (y) y sus derivadas de cualquier orden con respecto a una variable independiente (x).

Las ecuaciones diferenciales de orden superior se pueden clasificar en homogéneas (igual a cero) y no homogéneas (igual a una función de x). El principio de superposición permite conocidas n soluciones linealmente independiente para una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n encontrar su solución general.

Por lo tanto, en el presente trabajo se dan a conocer diversos ejercicios y problemas los cuales cada uno de los integrantes del grupo debe resolver a través de los métodos utilizados en las ecuaciones diferenciales de orden superior se van dar a solución a los mismos, no solo escogiendo la respuesta indicada, sino planteando toda la metodología donde se explica cómo se llegó a dicha solución.

Además, también se presentan situaciones las cuales se deben desarrollar, explicar o dar un punto de vista para la solución o como se llegó a ella, aplicando todo lo aprendía en esta fase del curso.

Objetivos:

General:

• aplica los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales de orden superior, dirigidos a la construcción de un conocimiento de manera autónoma con el fin de dar solución a los ejercicios planteados.

Específicos:

• Aplicar los diferentes métodos de solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior

Desarrollo de la actividad individual (dos preguntas por cada estudiante)

Preguntas tipo SABER PRO para seleccionar:

ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, describa el procedimiento que justifique su respuesta.

(David Páez Fonseca)

1. Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma 𝑦 ´´ + 𝑎1 (𝑥)𝑦 ´ + 𝑎2 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) y para que ésta sea una ecuación homogénea con coeficientes constantes se deben hacer dos suposiciones: 1. Los coeficientes son constantes. 2. 𝑔(𝑥) = 0. Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes y se pueden presentar tres tipos: Caso 1: Soluciones reales y distintas, Caso 2: Soluciones iguales y reales y Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas. Teniendo en cuenta lo anterior las soluciones de la ecuación diferencial 𝑦 ´´ − 2𝑦 ´ + 3𝑦 = 0 son:

1. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da [pic 1]
2. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da  [pic 2]

C.    Soluciones iguales y reales cuya solución da [pic 3]

D.   Soluciones distintas y reales cuya solución da [pic 4]

SOLUCIÓN

La ecuación tiene dos soluciones independientes y se presenta del tipo “soluciones complejas y conjugadas”, por lo tanto, a continuación, se presenta la solución:

[pic 5]

Ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con coeficientes constantes.

Una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden tiene la siguiente forma [pic 6]

Para una ecuación  adoptar una solución de la forma [pic 7][pic 8]

Escribir la ecuación con  [pic 9]

[pic 10]

Simplificar[pic 11][pic 12]

[pic 13]

Se resuelve:[pic 14][pic 15]

[pic 16]

Para dos raíces complejas  donde [pic 17][pic 18]

La solución general toma la forma: [pic 19]

[pic 20]

(Ana maría crespo)

2. En general, para resolver una ecuación diferencial lineal homogénea de -ésimo orden: [pic 21]

[pic 22]

Donde los coeficientes   son constantes reales y . Primero se debe resolver una ecuación polinomial de -ésimo grado:[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

[pic 27]

Esta ecuación puede presentar una solución general de acuerdo a sus raíces. Caso 1: Soluciones reales y distintas (. Para los casos 2 y 3, las raíces de una ecuación auxiliar de grado mayor que dos ocurren en muchas combinaciones. Cuando  es una raíz de multiplicidad  de una ecuación auxiliar de -ésimo grado (es decir,  raíces son iguales a  y la solución general debe contener la combinación lineal . Teniendo en cuenta lo anterior la ecuación diferencial de orden superior que tiene raíces como las descritas en el caso 1 es:[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

1. [pic 35]
2. [pic 36]
3. [pic 37]
4. [pic 38]

solución

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

 [pic 45]

[pic 46]

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[pic 49]

[pic 50]

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[pic 59]

[pic 60]

        [pic 61]

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[pic 70]

 [pic 71]

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[pic 78]

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[pic 80]

[pic 81]

[pic 82]

[pic 83]

(Jehefer Steven López Florez)

1. Una ecuación diferencial no homogénea de orden superior es de la forma:

[pic 84]

cuya solución general se escribe como la suma de las soluciones de una ecuación homogénea y una particular.

[pic 85]

 se determina haciendo para convertir la ecuación a una homogénea con coeficientes constantes. Esta es la llamada solución asociada  y se encuentra una solución particular de la ecuación no homogénea. Esta es la llamada solución particular Dicha solución depende de  la forma de la función   De acuerdo a lo mencionado anteriormente la solución de la ecuación diferencial no homogénea  es:[pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91]

1. [pic 92]
2. [pic 93]
3. [pic 94]
4. [pic 95]

Demostración

[pic 96]

Dividimos toda la ecuación en 4

[pic 97]

[pic 98]

Hallamos la solución Homogénea y(h) con el uso de la ecuación auxiliar

[pic 99]

[pic 100]

[pic 101]

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[pic 107]

[pic 108]

[pic 109]

Solución particular, por método de variación de parámetros

[pic 110]

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[pic 112]

Hallamos los Wronskianos

[pic 113]

En U1

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[pic 117]

En U2

[pic 118]

[pic 119]

[pic 120]

[pic 121]

[pic 122]

Remplazamos en la ecuación (1)

[pic 123]

La solución general es igual a:

[pic 124]

[pic 125]

(Luis Enrique Blanco Tarazona)

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