Ecuaciones lineales y sus aplicaciones

Introducción

El propósito general de este trabajo es dar a conocer algunas de las diferentes aplicaciones que tienen los sistemas de ecuaciones lineales en la ingeniería y las matemáticas, también se analizara de manera superficial un poco de su historia y orígenes y para poder comprenderlo de manera adecuada tendremos que definir ¿Qué es un sistema de ecuaciones?: Los sistemas de ecuaciones lineales son usados para representar problemas físicos que involucran la relación entre varias propiedades. Las variables representan propiedades a ser estudiadas, y las ecuaciones describen la interacción entre las variables y un sistema de ecuaciones lineales la relación entre ecuaciones.

Historia

Los egipcios con respecto a las ecuaciones lineales dejaron pairos con una multitud de problemas matemáticos resueltos, la mayoría del tipo aritmético y respondían a cuestiones concretas o cotidianas de la vida, no obstante, también se encontraros algunos que se clasifican como algebraicos porque no se refieren a ningún objeto en particular.[pic 1]

Los sistemas de ecuaciones lineales fueron resueltos por los babilonios, los cuales usaban como incógnitas las palabras: longitud, anchura, volumen o área, pero sin que tuvieran relación con problemas de medición.[pic 2]

Los griegos por su parte también resolverían algunos sistemas de ecuaciones, pero utilizando métodos geométricos. Thymaridas encontró una formula para resolver un determinado de sistema de “n” ecuaciones con “n” incógnitas. 

Tipos de sistemas lineales

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el numero de soluciones que pueden presentar.

Si es compatible tiene solución, además si se da dicho caso puede dividirse en determinado cuando se tiene una sola solución o indeterminado, cuando admite un conjunto infinito de soluciones, además de compatible también puede ser incompatible solo cuando este no tenga solución.[pic 3]

Dichos sistemas incompatibles, se caracterizan geométricamente por ser hiperplanos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta.[pic 4]

Un sistema va a ser incompatible si sus dos ecuaciones no se cruzan nunca, es decir son rectas paralelas. Al nunca tocarse o cruzarse no tienen solución.

Un ejemplo de un sistema compatible determinado podría ser uno en el que “x” y “y” sean diferentes, esto quiere decir que gráficamente en algún momento se cruzan y si se cruzan este tiene un numero finito de soluciones

Y un sistema compatible determinado, es aquel en que las dos ecuaciones lineales son la misma, por lo que al ser representadas quedan una encima de la otra y, por lo tanto, como siempre se están tocando van a tener un numero infinito de soluciones.

Tipos de solución que existen

Para resolver los sistemas de ecuaciones lineales existen varias formas para llegar a un resultado, pero con diferentes procedimientos.

Sustitución:

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones con cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en otra ecuación por su valor.

Igualación:

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Reducción:

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo.

Método gráfico:

Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión 2.

Reducción:

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales.

El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo.

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