Ejercicios De Estadistica

Estadística I

Ejercicios de distribuciones

3.27. Se diseña un complicado sistema electrónico con cierta cantidad de componentes de seguridad con sus subsistemas. Uno de ellos cuenta con 4 componentes idénticos, cada uno con una probabi¬lidad de fallar de 0.2 en menos de 1000 horas. El subsistema funcionará si dos de los 4 compo¬nentes están trabajando. Suponga que cado uno opera de manera independiente.

a) Determine la probabilidad de que dos de los cuatro componentes rindan más de 1000 horas.

b) Encuentre la probabilidad de que el subsistema funcione más de 1000 horas.

n = 4 ; x = 2 ; p = 0.2 ; q = 1-p ; q = 0.8

P(x) = nCx *(p^x)* (q^(n-x))

P(x) = 4C2*(0.2^29*(0.8^2)

P(x) = 0.1536

n = 4 ; x = 4 ; p = 0.2 ; q = 1-p  q = 0.8

P(x>=4) = 1-P(x<=3)

P(x<=3) = nCx *(p^x)* (q^(n-x))

P(x<=3) = 4C3*(0.2^3)*(0.8^1)

P(x) = 0.0256

P(x) = 1-0.0256

P(x) = 0.9744

3.28. La probabilidad de que un paciente se recupere de una enfermedad gastrointestinal es de 0.8. Su¬ponga que se sabe que 20 personas contraen la enfermedad

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sanen 14 pacientes?

b) ¿Qué probabilidad existe de que se recuperen por lo menos lO? .

c) ¿Cuál es la probabilidad de que sanen por lo menos 14, pero no más de 18?

d) ¿Qué probabilidad hay de que se recuperen 16 como máximo?

P(x=14) = 20C14 * (0.8^20) * (0.2^6)

P(x=14) = 0.1090

P(x>=10) = 1-P(x<10)

P(x<10) = (10C0*(0.8^0)*(0.2^10))+(10C1*(0.8^1)*(0.2^9))+ (10C2*(0.8^2)*(0.2^8))+ (10C3*(0.8^3)*(0.2^7))+ (10C4*(0.8^4)*(0.2^6))+

(10C5*(0.8^5)*(0.2^5))+ (10C6*(0.8^6)*(0.2^4))+ (10C7*(0.8^7)*(0.2^3))+ (10C8*(0.8^8)*(0.2^2))+ (10C9*(0.8^9)*(0.2^1))

P(x<10) = 0.603220

P(x>=10) = 1-P(x<10)

P(x>=10) = 0.396779

P( 18>=x>14) = P(x=15)+P(x=16)+ P(x=17)+ P(x=18)

P(x>14 ^ x<=18) = (20C15*(0.8^15)*(0.2^5))+ (20C16*(0.8^16)*(0.2^4))+

(20C17*(0.8^17)*(0.2^3))+ (20C18*(0.8^18)*(0.2^2))

P(x>14 ^ x<=18 ) = 0.705031

3.29 Un examen de opción múltiple tiene 15 preguntas, cada una con cinco respuestas posibles, de las cuales sólo una es correcta. Suponga que uno de los alumnos que lo presenta contesta cada una de las preguntas mediante aleatoriedad independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 10 de sus respuestas sean correctas?

n=15

P(correcta)=1/5=0.2 P(x=6)=0.04299

P(x>=10)=1-P(x<=0)=0.03529 P(x=7)=0.01381

P(x<=9) =0.964702 P(x=8) =3.45476

P(x=1) =0.31941 P(x=9) =6.71759

P(x=2) =0.23439

P(x=3) =0.2501

P(x=4) =0.4876

P(x=5) =0.1031

3.30. Muchos empresarios se percataron de que algunas personas que contratan no son lo que afirman ser. Detectar aspirantes que dan información falsa en sus solicitudes ha generado un nuevo negocio: el servicio de revisión de credenciales. El US. News and world report (13 de julio de 1981) publicó esta situación se destacó con un servicio del tipo mencionado descubrió en un periodo de 2 meses que. 35% de las credenciales investigadas eran falsas. Suponga que usted contrató a cinco empleados la semana pasada y que la probabilidad de que alguno de ellos haya mentido en su solicitud es de 0.35. ¿Cuál es la probabilidad de que los datos proporcionados en por lo menos una de las cin¬co solicitudes sean falsos? ¿Cuál es la probabilidad de que la información proporcionada en dos o más solicitudes sea falsa?

P(x>=5) = 1-P(x<5)

P(x<5) = P(0)+P(1)+ P(2) + P(3)+ P(4)

P(x<5) = (5C0*(0.35^0)*(0.65^5))+(5C1*(0.35^1)*(0.65^4))+

(5C2*(0.35^2)*(0.65^3))+(5C3*(0.35^3)*(0.65^2))+

(5C4*(0.35)^4*(0.65)^1)

P(x<5) = 0.994752

P(x>=5) = 1-0.994752

P(x>=5) = 0.005248

P(x>=2) = 1-P(x<2)

P(x>=2) = 0.235171

3.31. Muchas compañías de servicios públicos promueven el ahorro de energía ofreciendo descuentos a los consumidores que mantengan el consumo de energía por debajo de ciertas normas de subsidio establecidas. Un informe reciente de la EPA (Environmental Protection Agency) destaca que 70% de los residentes de la isla de Puerto Rico redujo el consumo de energía lo suficiente corno para obte¬ner el descuento. Si se eligen aleatoriamente cinco suscriptores residentes en San .Juan, Puerto Rico, determine la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos:

a) Los cinco reúnen los requisitos para recibir el descuento.

b) por lo menos cuatro se hacen merecedores de la rebaja

a) P(x=5) = 5C5*(0.7)^5*(0.3)^0

P(x=5) = 0.1681

b) P(x>=4) = 1-P(x<4)

P(x<4) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3)

P(x<4) = (5C0*(0.7^0)*(0.3^5))+ (5C1*(0.7^1)*(0.3^4))+ (5C2*(0.7^2)*(0.3^3))+

(5C3*(0.7^3)*(0.3^2))

P(x<4) = 0.47178

P(x>=4) = 1-0.47178

P(x>=4) = 0.528222

3.32

La probabilidad de que una nueva técnica quirúrgica tenga éxito es de suponga que la operación se realiza cinco veces y que los resultados son independientes uno de otro.

a)¿Cuál es la probabilidad de que las cinco operaciones tengan éxito si p= 0.8

b) ¿Qué probabilidad hay de que cuatro operaciones tengan éxito si p= 0.6

c) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de dos tengan éxito si p = 0.3.

n=5

(a) P=0.3

5

P(x=5)= (0.8)^5(1-0.8)^5-5 = 0.32763

5

(b) P=0.6

5

P(x=4)= (0.8)^4(1-0.8)^5-4 = 0.2592

4

(c) P=0.3

P(x<2) = P(x<=1) = 0.52822

5

P(x=1)= (0.8)^1(1-0.8)^5-1 = 0.3605

1

P(x=2)=0.16807

3.33 Una alarma contra incendios emplea tres celdas sensibles a la temperatura que operan de manera independiente, de tal norma que una o varias pueden activarla, La probabilidad de que cada celda active la alarma cuando la temperatura alcanza los 100°C o más es de p = 0,8. Si Y es el número de celdas que activan la alarma cuando la temperatura alcanza los 100 C, determine su distribución de probabilidades. Calcule la probabilidad de que la alarma funcione cuando la temperatura alcance los 100°C.

n=3

P=0.8

P(x>=1)=1-P(X<=0)=0.992

3

P(x=0)= (0.8)^0(1-0.8)^3-0 = 0.008

0

3.44. Se descubrió que a determinada concentración una sustancial química, encontrada en agua contaminada, resultó mortal para 20% de los peces que se exponían a ella por más de 24 horas. Se colocan 20 peces en un tanque de agua que contiene esta concentración de químicos.

a) Determine la probabilidad de que sobrevivan 14 peces.

b) Estime la probabilidad de que por lo menos 10 sobrevivan.

c) Determine qué probabilidad existe de que cuando mucho sobrevivan 16.

d) Obtenga la media y la varianza de la cantidad de sobrevivientes.

a) P(x=14) =20C14*(0.2)^14*(0.8)^6

P(x=14) = 0.000001664

b) P(x>=10) = 1-P(x<10)

P(x<10) = (20C0*(0.2^0)*(0.8^20))+ (20C1*(0.2^1)*(0.8^19))+

(20C2*(0.2^2)*(0.8^18))+ (20C3*(0.2^3)*(0.8^17))+

(20C4*(0.2^4)*(0.8^16))+ (20C5*(0.2^5)*(0.8^15))+

(20C6*(0.2^6)*(0.8^14))+ (20C7*(0.2^7)*(0.8^13))+

(20C8*(0.2^8)*(0.8^12))+ (20C9*(0.2^9)*(0.8^11))

P(x<10) = 0.9974

P(x>=10) = 0.0026

P(x=16) = 20C16*(0.2)^16*(0.8)^4

P(x=16) = 0.000000013

E(x) = n*p

E(x) = 20(0.8)

E(x) = 16 son los que sobreviven

V(x) = n*p*q

V(x) = (20*0.8*0.2)

V(x) = 3.2 la varianza de los peces que sobrevivieron

3.45 . De los donadores de sangre de una clinica, 80% tiene el factor Rh presente en el torrente sanguíneo.

a)Si se elige de manera aleatoria a cinco de los donadores, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno carezca del factor Rh?

b)Si se selecciona al azar a cinco voluntarios, ¿qué probabilidad hay de que a lo sumo cuatro ten¬gan el factor Rh?

c)¿Cuál es la cantidad mínima de donadores que debemos elegir si deseamos estar por lo menos 90% seguros de que por lo menos cinco de los escogidos tienen el factor Rh?

a) P(x>=1) = 1-P(x<1)

P(x<1)

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