Ejercicios Estadistica

““Año de la Promoción de la Industria Responsable y Compromiso Climático”

TEMA:

PROBLEMAS: EJERCICIOS DE PROBABILIDADES

CÁTEDRA : ESTADISTICA

CATEDRÁTICO : : Dr. Sc. Abraham Palacios

PRESENTADO POR : Nerida de la cruz gomez

SEMESTRE : III

EJERICICOS DE PROBABILIDADES DE ADICION

7. En un grupo de jóvenes, 22 estudian, 7 solamente estudian, 8 solamente trabajan y 10 no estudian ni trabajan. Calcule la probabilidad de manera manual que de un joven seleccionado al azar estudie o trabaje o ambas actividades a la vez :

P (EoT) =22/40+23/40+15/40=3/4

8. Supongamos que se extrae una carta de una baraja de 52 cartas bien barajada. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea o un rey o una figura negra? (Evento no mutuamente excluyente)

Solución: Hay52 sucesos o eventos simples. Sean los sucesos o eventos

Hay 4 reyes. A = Que la carta sea un rey.

Hay 6figuras negras B = Que la carta sea una figura negra

P ( A U B ) =P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B )

P(A U B)= 4/52 + 6/52 – 2/52 = 8/52= 0.15

9. Del ejemplo 1 calcular. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una espada o un trébol? (Eventos mutuamente excluyentes)

Solución: Hay 52 sucesos o eventos simples. Sean los sucesos

Hay 13 espadas. A = Que la carta sea espada.

Hay 13 tréboles. B = Que la carta sea trébol.

P(A U B)= P(A) + P (B)= 13/52 + 13/52 = 26/52

P(A U B)= 0.50

10. Consideremos un juego el cual debe elegirse una carta de una baraja de 52 cartas. Ganaremos $ 10 si la carta es negra o es un rey. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? (Evento no mutuamente excluyente)

Solución: Hay52 sucesos o eventos simples. Sean los sucesos o eventos

Hay 26 cartas negras. A = Que la carta sea un rey.

Hay 4reyes. B = Que la carta sea una negra

P ( A U B ) =P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B )

P(A U B)= 4/52 + 26/52 – 2/52 = 28/52

EJERICICOS DE PROBABILIDADES DE BAYES

En un distrito universitario los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse del siguiente modo: el 20% estudian arquitectura, el 35% medicina y el 45% economía. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios en cada caso es del 5%, 12% y del 18%. Elegido un alumno al azar determinar la probabilidad de que haya acabado los estudios.

Como Sea T el suceso "finalizar los estudios".

Como

E = A1 o A2 o A3

T = (T y E) = T y (A1 o A2 o A3) =

= (T y A1) o (T y A2) o (T y A3)

resulta

p(T) = p(T y A1) + p(T y A2) + (T y A3)

y por tanto

p(T) =

= p(A1) × p(T/A1) +

+ p(A2) × p(T/A2) +

+ p(A3) × p(T/A3)

Vemos todo esto mediante un diagrama de flujo y calculamos la probabilidad de que un alumno elegido al azar haya terminado los estudios.

Si A1, A2, y A3 son, respectivamente, los sucesos "estudiar arquitectura", "estudiar medicina" y "estudiar economía" resulta

p(Ai) = 1

y los sucesos A1, A2, y A3 son incompatibles (no existen estudiantes que cursen dos carreras).

Además

E = A1 o A2 o A3

En estas condiciones podemos aplicar el razonamiento de la columna de la izquierda.

La fábrica de enlatados PI S.A. produce 5000 envases diarios. La máquina A produce 3000 de estos envases, de los que el 2% son defectuosos y la máquina B produce los 2000 restantes de los que se sabe que el 4% son defectuosos. Determinar la probabilidad de que un envase elegido al azar sea defectuoso.

Si D es el suceso "seleccionar un envase defectuoso" y (no D) = "seleccionar un envase no defectuoso", el diagrama siguiente nos muestra el camino

Aplicando el teorema anterior resulta:

p(D) = p(A y D) + p(B y D) = p(A) × p(D/A) + p(B) × p(D/B) = 0,028

Y ahora la pregunta ¿Si el envase seleccionado es defectuoso, qué probabilidad hay de que proceda de la máquina A? ¿Y de la B?

Es decir, sabemos que la botella seleccionada es defectuosa

La respuesta a dicha cuestión viene dada por la denominada fórmula de Bayes

Probabilidad de que provenga de la máquina A

Calculamos la probabilidad p(A/D) es decir, la probabilidad de que provenga de la máquina A en el supuesto que el envase es defectuoso:

Probabilidad de que provenga de la máquina B

Calculamos la probabilidad p(B/D) es decir, la probabilidad de que provenga de la máquina B en el supuesto que el envase es defectuoso:

Las expresiones

son las de la "fómula de Bayes" para cada uno de las preguntas formuladas. Estas expresiones pueden generalizarse facilmente para un conjunto finito de sucesos con las condiciones indicadas.

Podemos hacernos ahora varias preguntas que son fáciles de contestar. Por ejemplo:

• ¿Si el envase no es defectuoso, qué probabilidad hay de que provenga de la máquina A?. ¿Y de la B?.

O bien, teniendo en cuenta el primer ejercicio, ¿si un alumno seleccionado ha finalizado la carrera, qué probabilidad hay que haya estudiado arquitectura?. ¿Y medicina?

Y además ya estamos en condiciones de resolver el problema enunciado en la portada.

En una urna hay 5 bolas, 3 azules y 2 verdes. Se saca una bola de la urna y sin mirarla, se guarda. A continuación se vuelve a sacar otra bola que es verde. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera haya sido verde?. Y si la segunda hubiera sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea verde?. ¿Y azul?.

Un diagrama nos aclara la situación

En donde (A1 y A2), es el suceso "sacar azul la primera bola y azul la segunda" y análogamente los restantes (A1 y V2), (V1 y A2), (V1 y V2).

Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido verde)

Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:

Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido azul)

Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:

Probabilidad de que la primera haya sido azul (en el supuesto que la segunda ha sido azul)

Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:

Los alumnos de Bachillerato de un I.E.S. proceden de 3 localidades A, B y C, siendo un 20% de A, un 30% de B y el resto de C. El 80% de los alumnos de A cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. El 50% de los alumnos de B cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. El 60% de los alumnos de C cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º.

(a) Seleccionado, al azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S., ¿cuál es la probabilidad de que sea de 2º?.

(b) Si elegimos, al azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S. y éste es un alumno de 1º, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la localidad B?.

EJERICICOS DE PROBABILIDADES DE CURVA NORMAL

Pasar una variable x N (8, 3) a una variable tipificada z N(1,0)

Porcentaje de población en los diferentes intervalos simétricos

Si X es una variable aleatoria de una distribución N(µ, σ), hallar: p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ) :

Es decir, que aproximadamente el 99.74% de los valores de X están a menos de tres desviaciones típicas de la media.

La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

1Entre 60 kg y 75 kg

2Más de 90 kg

3Menos de 64 kg

464 kg

564 kg o menos

1Entre 60 kg y 75 kg

2Más de 90 kg

3Menos de 64 kg

464 kg

564 kg o menos

Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y desviación típica 36. Se pide:

1¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

2Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas)

3Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?

¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

2Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron

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