Ejercicios de límites

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Ejercicios.

1. Considere las funciones f : A −→ B y g : B −→ C. Demuestre que:

(a) Si (g ◦ f ) es una función inyectiva, entonces f también lo es.

(b) Si (g ◦ f ) es una función sobreyectiva, entonces g también lo es.

2. Considere la función f : N −→ Z, definida por

{

n si n es par

f (n) =

Demuestre que f es biyectiva.

2

−(n−1)

2 si n es impar

3. Considere las funciones f, g : R −→ R, definidas por

{

10 − x si x ≥ 1

f (x) =

4−x six<1

, g(x) = 2 + x

Calcule (f ◦ g) y decida si es creciente, decreciente o ninguna de las anteriores.

4. Considere la función f : R − {−3} −→ R − {−1}, definida por f (x) = 1−xx+3 . Demuestre

que f es una función biyectiva, grafique f , indicando intersección con los ejes y as´ıntotas.

5. Analice la existencia de los siguientes l´ımites.

|x2−1|

(a) limx→1

(b) limx→0

(c) limx→0

(d) limx→3

(e) limx→2

x2+x−2

√ √

2−x− 2

2x

√

1+x2−1

x

√

x+1−2

x−3

√x2

3− x2+5

(f) limx→0 1/(x+1)−1x

√

(g) limx→∞ x − x2 − x

(h) limx→2 2(4−x2)−|4−x2|

3 |

(i) limx→3 x2+|x−8|+1

x|2x−6|

2

6.

7.

8.

Demuestre que el gráfico de la función f : R −→ R definida por f (x) = xsen(x) + 2, intersecta al eje X.

Sea A = {x ∈ R : |x + 2| ≤ 1}. Indique (si es que existen) máximo, m´ınimo, Supremo e Í nfimo de A.

Una caja cerrada de sección cuadrada, de lado x, tiene un área de 100cm2.

(a) Exprese el volumen V como funció de la variable x.

(b) Encuentre las dimensiones de la caja de volumen máximo.

 

9. Resuelva la siguiente inecuación

 5x−3 

x−1

≤ 7.

|x−1|+|3x+7| 1

10. Dada la función f : Dom(f ) −→ R definida por f (x) = (x−1)|x+|x+1|| − 3.

Encuentre Dom(f ) y el conjunto A = {x ∈ Dom(f ) : f (x) < 0}.

11. Dado el conjunto S = {x ∈ R : ||x| − a| < 1}. ¿Qué condiciones debe cumplir a para que

el conjunto S sea vacıo?

12. Se va a construir un caja de caras laterales rectangulares, con base y tapa cuadradas con

capacidad de 8 m3

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