Demostración y Solución de Ejercicios. Límites

[pic 1]

Universidad Nacional de Ingeniería

FACULTAD DE INGENIERIA DE PETROLEO Y GAS NATURAL Y PETROQUIMICA

Demostración y Solución de Ejercicios

Vasquez Aguilar Wilmer Daniel       20191458A

1. de Enero del 2020

1. Demuestre usando la circunferencia unitaria.

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Demostración 1:

Para esto demostraremos la desigualdad:  [pic 3]

Donde X es el ángulo medido en radianes tal que:   [pic 4]

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Sea   el arco AP medido en radianes, donde:[pic 6]

P(cos(x) , sen(x)), A(1 , 0), B(cos(x) ,0), C(1 , tg(x)) siendo C el punto de intersección de la recta que contiene el radio OP con la recta tangente al punto A .

En el grafico observamos que:

 Área ∆POA Área ⪦OPA  Área ∆OCA [pic 7][pic 8]

   ⟹   , dividiendo entre sen(x) [pic 9][pic 10]

     Invertimos         ……….. (1)[pic 11][pic 12]

  Además d(A, P) arc AP,[pic 13]

           (1- cos(x))² + sen²(x)  x²   ⟹   1-   cos(x)     …….…. (2)[pic 14][pic 15][pic 16]

Ahora de  (1) y (2)  se tiene:  1-  cos(x)    …..  (𝞪)[pic 17][pic 18]

Si x 𝜖 ( , o) suponiendo que      ⟹       [pic 19][pic 20][pic 21]

Que remplazando en  (𝞪)  se cumple:

    1-  cos(-x)      ⟹      1-  cos(x)          [pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

Luego  1-  cos(x)      se cumple       [pic 26][pic 27][pic 28]

Como  =1    y    =1  entonces por el teorema de sándwich se tiene:                                         [pic 29][pic 30]

[pic 31]

                          Rpta:      

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Demostración 2:

Para poder hacer la siguiente demostración, haremos de la demostración del caso general que sería:    para esto esbozamos la siguiente gráfica: [pic 33]

Establecemos el caso especial en el que  c = 0, supóngase que  t > 0 y que los puntos A, B Y P están definidos como en la figura.[pic 34]

  Entonces:                               0 <  <  < arc(AP)[pic 35][pic 36]

Pero  = sen (t) y arco (AP) = t, de modo que    0 <  < [pic 37][pic 38][pic 39]

Si  t < 0, entonces  t < sen (t) < 0. Así que podemos aplicar el teorema del sándwich y concluir que   . Para completar la demostración, también necesitaremos el resultado de que   .[pic 40][pic 41]

Esta se deduce aplicando una identidad trigonométrica:                        [pic 42]

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