LIMITES (EJERCICIOS RESUELTOS)
klever36Tarea23 de Octubre de 2018
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LIMITES (EJERCICIOS RESUELTOS)
Ejercicio 1. Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Sea f una función tal que
x lim → 4
-
f ( x
) = 2
y
x lim → 4
+
f ( x
) = 3
.Entonces, podemos
afirmar que
lim f ( x
)
no existe. x
→
4 Resolución La proposición es Verdadera, ya que como los límites laterales son diferentes.
II. Si el límite de f ( x ) existe en a , entonces a está necesariamente en el
dominio de f ( x ) Resolución La proposición es Falsa.
Por ejemplo, de la función
f ( x
)
=
x
2 -
1 x
-
1
se observa que 1 ∉ Dom ( f ) , sin
2 embargo
lim x → 1 x x
- -
1
1
= lim( x
→
1
x
+ 1) =
2
III. Si;
lim
x →
c
1 x
2
= +∞ ⇒ c=0
Resolución La proposición es Verdadera.
Si c = 0 entonces
lim x →
0
1 x 2
= +∞
IV. Si f es una función tal que
x lim →
2
+
f ( x ) = lim f ( x
) = 5 . x
→
2
- Pero f (2) no está definido, entonces lim
)( 2
, no existe
Resolución La proposición es Falsa. En este ejercicio nos dicen que los límites laterales son iguales, por tanto, el
2
xf x→
lim f ( x
)
existe y vale 5. x
→
V.
lim x
→∞
2 x
x
- + 1
1
=
∞ ∞
, entonces lim x →∞
f ( x
) =
1
Resolución La proposición es Falsa. Veamos
lim x →∞ 2 x x - + 1 1 = lim x →∞ 2 x x
+ 1 x x x - 1 x 2
= lim x →∞
1
+
1 x -
1 x
= 1 2 - +
0 0
=
2
2 Ejercicio 2. Dada la función xxxxf
)(
= 3 - 2 + - 2 (a) Hallar el lim
xf
)( : x→
2
Resolución
lim
xf
2)( =
3 - )2(2 2 + 022 - = x
→
2
(b) Hallar el lim
xf )( x→
0
Resolución
lim
xf
0)( =
3 - )0(2 2 + 20 - = - 2 x
→
0
(c) Hallar el lim
xf )( x -→ 1
Resolución
lim
xf
)1()( =
- 3 - )1(2 - 2 + - 21 - = - 6 x
-→
1
Ejercicio 3. Dada la función:
xf
)(
=
x x
+
5 -
3
(a) Hallar el x
lim →
3
+
xf )( Resolución
x
lim →
3
+
xf
)( =
3
53
+
+
-
3 =
8 + = +∞ (b) Hallar el lim
)( 3 0
x
→
-
xf
:
Resolución
x
lim →
3
-
xf
)( =
3
53
-
+
-
3 =
8 - = -∞ (c) Hallar el lim )( 3
0
xf x→
Resolución
; x lim →
3
xf
)( =
no existe porque: x
lim →
3
+
xf
)( ≠
x
lim →
3
-
xf )( Ejercicio 4. Dada la función:
xf
)(
=
xx xx 2
2
+
+
103
- - 6
(a) Hallar el lim
xf )( x→
2
Resolución
lim
)( 2
0 0
;
lim x
→
2
x x x x x (b) Hallar el lim )( 3 xf
= x
→
( (
x + +
)(5 )(3 - - )2 )2 =
lim
→ 3 +
x
+
5 3
=
8 6
= 3/2
xf x -→
Resolución
lim
)( 3 x -→
xf
= lim
x
-→
3
(
x
x x (
x x x (c) Hallar el lim
)( 5 + )(5 +
)(3 - - )2 )2 =
lim -→ 3 +
x
+
5 3
=
0 2 = ∞ xf x -→
Resolución
x lim -→
5
xf
)( = x
lim -→
5
( (
x x
+ +
)(5 )(3 x x - - )2 )2 =
x lim
-→ 5 x
Ejercicio 5. Hallar el
9
+ x
+
5 3
=
-
0
2
=
0
x
x
Resolución
-
=
= lim →
9
- x
-
3
lim
x
3
x
→
9
-
9
0
lim x
→
9 x x
0
(
x
- )(3 )(9(
x
-
x + + )3 )3 =
x lim
→ 9 )(9( x
-
)9(
x
-
x + )3 =
1 6
Ejercicio 6. Hallar el
x
2 x x
3
- 2 Resolución
lim ∞→ 9
+ x
4
2 + 1
1 9 2 lim x
∞→
9
x
3 2
x
+ 4
2 -
x 2 + 1 =
x lim
∞→ + x
2
+
3 4 = = 3
-
x 2
x
4
x 0
Ejercicio 6. Hallar el
2
6 2 3
0
2
x
lim ∞→ 8
x
- 5 x - 1 x
2
+ x + Resolución
x
lim
∞→ 2
8
x x
2
2
+ -
6 5 x x + - 1 2 =
8 2
= 2
Ejercicio 7. Hallar el
lim x
∞→ 7
xx
3
+ - 2 3
x
2
+ x - 1 Resolución
lim x
∞→
7
3 x
...