Ejercicios de optimizacion estatica
Enviado por elianpuraca17 • 6 de Julio de 2018 • Tareas • 2.574 Palabras (11 Páginas) • 306 Visitas
EJERCICIOS PROPUESTOS DE OPTIMIZACIÓN ESTÁTICA.
Ejercicio N° 1
Para cada una de las funciones, halle los valores extremos y determine si son máximos o mínimos:
- [pic 4]
Solución:
- Utilizamos la condición de primer orden para hallar los extremos relativos:
⇒ (1)[pic 5][pic 6]
⇒ (2)[pic 7][pic 8]
- Resolviendo:
(1)
[pic 9]
→ [pic 10][pic 11]
(2)[pic 12]
[pic 13]
Luego el valor de la función cuando y resulta:[pic 14][pic 15][pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
Por lo tanto, el extremo relativo es el punto [pic 20]
- Condición de segundo orden para determinar Concavidad/Convexidad
Las derivadas de son:[pic 21]
[pic 22][pic 23]
[pic 24][pic 25]
[pic 26][pic 27]
- Matriz Hessiana :
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
- Reemplazando en [pic 31][pic 32]
[pic 33]
[pic 34]
Dado que la determinante de es mayor a cero, podemos afirmar que Es estrictamente convexa y el extremo relativo es un mínimo relativo.[pic 35][pic 36]
Gráficamente lo podemos observar:
[pic 37]
- [pic 38]
- Utilizamos la condición de primer orden para hallar los extremos relativos:
[pic 39]
[pic 40]
[pic 41]
- Resolviendo simultáneamente:
[pic 42]
[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
[pic 46]
[pic 47]
[pic 48]
- Por lo tanto, el extremo relativo es el punto [pic 49]
- Matriz Hessiana:
[pic 50]
[pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
[pic 54]
- [pic 55]
[pic 56]
Ejercicio N° 2
- Dado los problemas:
[pic 57]
Solución:
Función Lagrangiana:
[pic 58]
… (1)[pic 59]
- Empleamos la condición de primer orden para hallar los extremos Relativos
… (2)[pic 60]
… (3)[pic 61]
… (4)[pic 62]
- De (2) y (3):
⇒ [pic 63][pic 64]
⇒ [pic 65][pic 66]
⇒ [pic 67][pic 68]
(5)[pic 69]
- (5) en (4)
[pic 70]
[pic 71]
[pic 72]
[pic 73]
(6)[pic 74]
- (6) en (4)
[pic 75]
[pic 76]
(7)[pic 77]
- (7) en (2)
[pic 78]
(8)[pic 79]
- (6) y (8) en la función objetivo:
[pic 80]
[pic 81]
[pic 82]
El extremo relativo de la función es el punto que en nuestro caso es :[pic 83][pic 84]
[pic 85]
- Condicion de segundo orden para determinar la concavidad/Convexidad
[pic 86][pic 87]
[pic 88][pic 89]
[pic 90][pic 91]
[pic 92]
[pic 93]
[pic 94]
- Matriz Hessiana Orlada:
[pic 95]
[pic 96]
[pic 97]
[pic 98]
[pic 99]
Con los datos de finalmente tenemos:[pic 100]
[pic 101]
[pic 102]
[pic 103]
[pic 104]
Gráficamente:
[pic 105]
- [pic 106]
Sujeto a: [pic 107]
Función Lagrangiana :
[pic 108]
[pic 109]
[pic 110]
- Empleamos la condición de primer orden para hallar los extremos Relativos
[pic 111]
[pic 112]
[pic 113]
Resolvemos simultáneamente (2), (3) y (4)
De (2) y (3), se obtiene:
[pic 114]
[pic 115]
-Reemplazamos (5) en (4)
[pic 116]
[pic 117]
-Resolviendo la ecuación (3) se obtiene:
[pic 118]
-(5) y (6) en [pic 119]
[pic 120]
[pic 121]
- Condicion de segundo orden para determinar la concavidad/Convexidad
-De (2) se obtiene:
[pic 122]
(2’)[pic 123]
[pic 124]
-De (3) se obtiene:
[pic 125]
(3’)[pic 126]
[pic 127]
-De (4) se obtiene:
...