El cuantilograma cruzado: medición de la dependencia cuantil y prueba de predictibilidad direccional entre series de tiempo

El cuantilograma cruzado: medición de la dependencia cuantil y prueba de predictibilidad direccional entre series de tiempo

Resumen

Este artículo propone el cuantilograma cruzado para medir la dependencia cuantil entre dos series de tiempo. Lo aplicamos para probar la hipótesis de que una serie de tiempo no tiene previsibilidad direccional a otra serie de tiempo. Establecemos la distribución asintótica del cuantilograma cruzado y el estadístico de prueba correspondiente. Las distribuciones limitantes dependen de parámetros molestos. Para construir intervalos de confianza consistentes, empleamos un procedimiento bootstrap estacionario; Establecemos la consistencia de este bootstrap. Además, consideramos un enfoque auto-normalizado, que produce una estadística asintóticamente fundamental bajo la hipótesis nula de no previsibilidad. Ofrecemos estudios de simulación y dos aplicaciones empíricas. Primero, utilizamos el cuantilograma cruzado para detectar la previsibilidad desde la varianza del stock hasta el exceso de rendimiento del stock. En comparación con las herramientas existentes utilizadas en la literatura sobre la previsibilidad del rendimiento del stock, nuestro método proporciona una relación más completa entre un predictor y el rendimiento del stock. En segundo lugar, investigamos el riesgo sistémico de instituciones financieras individuales, como JP Morgan Chase, Morgan Stanley y AIG.

Palabras clave: Cuantil, Correlograma, Dependencia, Previsibilidad, Riesgo sistémico.

1. Introducción

Linton y Whang (2007) introdujeron el cuantilograma para medir la predictibilidad en diferentes partes de la distribución de una serie de tiempo estacionaria basada en el correlograma de hits “golpes cuantiles’’. Lo aplicaron para probar la hipótesis de que una serie temporal dada no tiene previsibilidad direccional. Más específicamente, su hipótesis nula era que el conjunto de información pasada de la serie temporal estacionaria {yt} no mejora la predicción sobre si yt estará por encima o por debajo del cuantil incondicional. La prueba se basa en comparar el cuantilograma con una banda de confianza puntual. Esta contribución se ajusta a una larga literatura de pruebas de previsibilidad utilizando signos o estadísticas de rango, incluidos los documentos de Cowles y Jones (1937), Dufour et al. (1998) y Christoffersen y Diebold (2002). El cuantilograma tiene varias ventajas en comparación con otras estadísticas de prueba para la previsibilidad direccional. Es conceptualmente atractivo y fácil de interpretar. Dado que el método se basa en golpes cuantiles, no requiere condiciones de momento como el correlograma ordinario y estadísticas como la relación de varianza que se derivan de él, Mikosch y Starica (2000), por lo que funciona bien para series de cola pesada. Muchas series de tiempo financieras tienen colas pesadas, ver, por ejemplo, Mandelbrot (1963), Fama (1965), Rachev y Mittnik (2000), Embrechts et al. (1997), Ibragimov et al. (2009) e Ibragimov (2009), por lo que esta es una consideración importante en la práctica. Además, este tipo de método permite a los investigadores considerar retrasos muy largos en comparación con los métodos de tipo de regresión, como Engle y Manganelli (2004).

Ha habido una serie de trabajos recientes que amplían o aplican esta metodología. Davis y Mikosch (2009) han introducido el extremograma, que es esencialmente el cuantilograma para cuantiles extremos, y Davis et al. (2012) ha proporcionado los métodos de inferencia basados en bootstrap y permutación para el extremograma. Ver también Davis et al. (2013) Li (2008, 2012) ha introducido una versión de dominio de Fourier del cuantilograma, mientras que Hong (2000) ha utilizado un enfoque de dominio de Fourier para estadísticas de prueba basadas en distribuciones. Hagemann (2013) y Dette et al. Han desarrollado más en el enfoque del dominio de Fourier. (2015).

Ver también Li (2014) y Kley et al. (2016) El cuantilograma se ha aplicado recientemente a las devoluciones de acciones y los tipos de cambio, Laurini et al. (2008) y Chang y Shie (2011).

Nuestro artículo aborda tres cuestiones pendientes con respecto al cuantilograma. Primero, la construcción de intervalos de confianza que son válidos bajo estructuras de dependencia general. Linton y Whang (2007) derivaron la distribución limitante del cuantilograma de la muestra bajo la hipótesis nula de que el cuantilograma en sí mismo es cero, de hecho, bajo un caso especial de aquel en el que el proceso tiene un tipo de estructura de heterocedasticidad condicional. Incluso en ese caso muy especial, la distribución limitante depende de cantidades específicas del modelo. Derivaron un límite en la varianza asintótica que permite probar la hipótesis nula de la ausencia de previsibilidad (o más bien el caso especial de esto con el que trabajan). Incluso cuando esta estructura de modelo es apropiada, los límites pueden ser bastante grandes, especialmente cuando se observan las colas de la distribución. El cuantilograma también es útil en casos en los que no se cree que la hipótesis nula de no previsibilidad sea cierta: uno puede estar interesado en medir el grado de previsibilidad de una serie en diferentes cuantiles. Proporcionamos una solución más completa al problema de inferencia para el cuantilograma. Específicamente, derivamos la distribución asintótica del cuantilograma en condiciones generales de dependencia débil, específicamente mezcla fuerte. La distribución limitante es bastante complicada y depende de la varianza a largo plazo de los éxitos cuantiles. Para realizar la inferencia, proponemos el método Bootstrap estacionario de Politis y Romano (1994) y demostramos que proporciona intervalos de confianza válidos asintóticamente. Investigamos el rendimiento de la muestra finita de este procedimiento y demostramos que funciona bien. También proporcionamos código R que realiza los cálculos de manera eficiente.1 También definimos una versión auto-normalizada de la estadística para probar la hipótesis nula de que el cuantilograma es cero, siguiendo a Lobato (2001). Esta estadística tiene una distribución asintóticamente fundamental, bajo la hipótesis nula, cuyos valores críticos se han tabulado para que no haya necesidad de estimar la varianza a largo plazo o incluso bootstrap.

En segundo lugar, desarrollamos nuestra metodología dentro de un entorno multivariante y consideramos explícitamente el cuantilograma cruzado. Linton y Whang (2007) mencionaron brevemente una versión tan multivariada del cuantilograma, pero no proporcionaron resultados teóricos ni resultados empíricos. De hecho, el correlograma cruzado es una medida vitalmente importante de dependencia entre series de tiempo: Campbell et al. (1997), por ejemplo, utilizan la función de autocorrelación cruzada para describir las relaciones de rezago de plomo entre grandes stocks y pequeños stocks. Aplicamos el cuantilograma cruzado al estudio de la previsibilidad del rendimiento del stock; Nuestro método proporciona una imagen más completa de la estructura de previsibilidad. También aplicamos el cuantilograma cruzado a la cuestión del riesgo sistémico. Nuestros resultados teóricos descritos en el párrafo anterior se derivan todos para el caso multivariante.

En tercer lugar, permitimos explícitamente que el cuantilograma cruzado se base en cuantiles condicionales (o de regresión) (Koenker y Bassett, 1978). Usando cuantiles condicionales en lugar de cuantiles incondicionales, medimos la dependencia direccional entre dos series de tiempo después de controlar parsimoniosamente la información en el momento de la predicción.2 Además, derivamos la distribución asintótica del cuantilograma cruzado que son válidas uniformemente en un rango de cuantiles.

El resto del trabajo es el siguiente: la Sección 2 presenta el cuantilograma cruzado y la Sección 3 discute sus propiedades asintóticas. Para intervalos de confianza consistentes y pruebas de hipótesis, definimos el procedimiento Bootstrap e introducimos el estadístico de prueba auto normalizado. La sección 4 considera el cuantilograma cruzado parcial y ofrece un tratamiento completo de su comportamiento en muestras grandes. En la Sección 5 informamos los resultados de algunas simulaciones de Monte Carlo para evaluar las propiedades de muestras finitas de nuestros procedimientos. En la Sección 6 damos dos aplicaciones: investigamos la previsibilidad del rendimiento de existencias y el riesgo del sistema utilizando nuestra metodología. El apéndice contiene todas las pruebas.

Usamos la siguiente notación: la norma ∥ · ∥ denota la norma euclidiana, es decir, [pic 1] para [pic 2][pic 3]y la norma ∥ · ∥p indica la norma [pic 4]norma de un vector z siendo dx1, dado por [pic 5] para p>0. Sea 1[·] la función del indicador que toma el valor uno cuando su argumento es verdadero, y cero en caso contrario. Usamos R, Z y N para denotar el conjunto de todos los números reales, todos los enteros y todos los enteros positivos, respectivamente.

1. El cuantilograma cruzado

Sea [pic 6] ser una serie temporal bidimensional estrictamente estacionaria con [pic 7][pic 8] y sea [pic 9] denota la función de distribución de la serie [pic 10]  con función de densidad [pic 11] La función cuantil de las series de tiempo [pic 12] se define como [pic 13] para [pic 14][pic 15]

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