Equacions en diferències

BIBLIOGRAFIA

Part Rosa:

-Saber,E.(1996),An Introduction to difference equations. Estats Units:Board

-Walter G.Kelley.; Allan,C(1991), Difference Equations: An Introduction with Applications.San Diego: Harcourt/Academic Press

-Cull,P.(2005), Difference equations: from rabbits to Chaos. Nova York:Springer

-Universidad Complutense de Madrid. Ecuaciones en diferencias. Recuperat de: http://www.eco.uc3m.es/~rimartin/Teaching/AMATH/NOTES2SP.pdf

-Navarrete Molano,G.A.(2003).Introducción a las ecuaciones en diferencias.Trabajo final de grado.Bogotá: Fundación Universitaria Konrad Lorenz.

-Universidad de Jaén.Ecuaciones y sistemas en diferencias.Recuperat de: http://matema.ujaen.es/jnavas/web_modelos/pdf_mmb08_09/sistemas%20dinamicos.pdf

-Tenorio Villalón, A.; Martínez Caraballo,A.; Paralera Morales, C.; Contreras Rubio, I.(2013).Ecuaciones diferenciales y en diferencias aplicadas a los conceptos económicos y financieros. Sevilla:Revista de métodos cuantitativos para la economía y la empresa. Recuperat de: https://www.redalyc.org/html/2331/233129568009/

-Universidad Autónoma de Madrid. Recurrencias,Capítulo 8. Recuperat de: http://verso.mat.uam.es/~pablo.fernandez/entrega4-EDEM-MD16-17.pdf

-Quezada,R.(2014). Sucesiones y recurrencias. Trabajo. México:Universidad Autónoma Metropolitana. Recuperat de: http://sgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/qbr/Publicaciones/recurr-mixbaal.pdf

-University of Manchester. Discrete (Difference) Equations. Recuperat de: http://www.maths.manchester.ac.uk/~lwalker/MATH10000/project-05-lecture-notes.pdf

Equacions    en    diferències    

En    aquest    treball    haureu    de    fer    una    recerca    d’informació    sobre    el    tema    de    les    equacions    en    diferències.    El    treball    hauria    de    contenir    almenys    els    següents    punts :  

• Què    són    les    equacions    en    diferències?  

• Càlcul    i    significat    dels    punts    d’equilibri    i    de    les    òrbites    periòdiques.           • Definició,    propietats    i    tipus    d’equacions    en    diferències    lineals.    

• Equació    logística.    https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/cnumerico/recursos/logistica.htm 

http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/tag/ecuacion-logistica 

http://www.academia.edu/17830371/Ecuacion_log%C3%ADstica 

https://prezi.com/h_spwl5cxwfe/ecuacion-logistica/ 

• Tres    exemples    pràctics    de    l’ús    de    les    equacions    en    diferències    a    la    vida    real.            

Per    poder    realitzar    aquest    treball    heu    de    cercar    la    informació    a    fonts    fiables    d’internet    o    a    llibres    d’Anàlisi    Matemàtic.    Pensau    que    heu    de    citar    correctament    les    fonts    d’informació    que    utilitzeu.    El    treball    ha    d’estar    redactat    amb    claredat    i    ha    de    ser    correcte    des    del    punt    de    vista    formal    i    matemàtic.    

L’enfocament    del    treball    depèn    de    vosaltres    mateixos,    és    a    dir,    l’extensió    de    cada    un    dels    apartats    no    està    pautada    i    ho    marcau    vosaltres^[a].    No    hi    ha    extensió    mínima    ni    màxima

Una ecuación en diferencias es una expresión del tipo: G(n,f(n),f(n + 1),...,f(n + k)) = 0, ∀n∈Z, donde f es una función definida en Z.

Una ecuación en diferencias de orden k se dice lineal si puede expresarse de la forma: p0(n)f(n+k)+p1(n)f(n+k−1)+...+pk(n)f(n) = g(n), donde los coeficientes pi son funciones definidas en Z.

El caso más sencillo es cuando los coeficientes son constantes pi(n) = ai : a0f(n + k) + a1f(n + k−1^[b]) + ... + akf(n) = g(n).

La ecuación en diferencias se dice homog´enea en el caso que g(n) = 0, y completa en caso contrario.

http://www.konradlorenz.edu.co/images/stories/suma_digital_matematicas/gennyecuacionesl4.312.pdf

\item Sean $A_1(n)$, $A_2(n)$, i $B(n)$ funciones conocidas que nunca se hacen cero en cierto dominio de la variable n. Entonces:

$$A_1(n)U(n+1) + A_2(n)U(n) = B(n)$$ Se llama ecuación en diferencias de primer orden lineal de $U(n)$. Una solución  és una función que satisface la ecuación, ó es una función que satisface una ecuación dada para cualquier valor de la variable perteneciente a un dominio en el que esta definida la función; es decir, una solución en esta forma no necesariamente es única, ya que al mantener una constante arbitraria significa que hay una cantidad infinita de soluciones.

\item Una ecuación en diferencias es una expresión del tipo:

$$G(n,f(n),f(n+1),\cdots , f(n+k))=0, \forall n \in \mathbb{Z}$$ donde f es una función definida en $\mathbb{Z}$.

Si después de simplificar esta expresión quedan los terminos $f(n+k_1)$ y $f(n+k_2)$ como mayor y el menor, respectivamente, se dice que la ecuación es de orden $k=k_1-k_2$. La  ecuación en diferencias se dice {\bf homogénea} en el caso de que $g(n)=0$, y {\bf completa} en el caso contrario.

SUBIR A OVERLEAF

INTRODUCCIÓ-HISTÒRIA

Les equacions en diferències són eines matemàtiques d’anàlisis. Permeten modelar gran quantitat de fenòmens dinàmics que es donen en la vida quotidiana. Aquestes expressions  són especialment útils en disciplines acadèmiques com Economia, Enginyeria, Biologia, entre d’altres. Tenen tant interès en el camp teòric com pràctic per estudiar l’evolució de sistemes discrets, aproximar els operadors de les equacions diferencials, resoldre problemes matemàtics, entre d’altres moltes aplicacions.

Les equacions en diferències, també conegudes com equacions en recurrències tenen un llarg recorregut històric. En moltes ocasions han estat objecte de jocs matemàtics, però també hi ha hagut interès en la seva resolució. Més posteriorment s’han descobert gran multiplicitat de camps on és útil aplicar-les.

En l’Antiguitat ja estaven presents. Presentam alguns exemples.

Els nombres poligonals se poden expressar en forma d’equacions en recurrències

Un nombre poligonal és un nombre natural que pot representar-se gràficament en forma de polígon regular. Els antics matemàtics com Arquímedes, Euclides i els pitagòrics van estudiar aquests nombres.

Pel que fa als nombres triangulars, es construeixen de la següent forma. Suposem que disposam d’un punt, i volem formar un triangle equilàter, aleshores necessitarem dos punts més. Si volem formar una altre triangle afegint més punts, necessitarem uns altres tres punts, podem continuar així afegint quatre, cinc, sis, etc. Punts successivament. D’aquesta forma obtenim la successió dels nombres triangulars donada per {1, 3, 6, 10, 15, 21, ...}.

De la mateixa forma podem obtenir la successió dels nombres quadrats {1, 4, 9, 16, 25, 36, ...}

La successió dels nombres pentagonals ve donada per {1, 5, 12, 22, ...}

I els nombres hexagonals són els termes de la successió {1, 6, 15, 28, ...}

Establiren que si consideram un polígon de “n” costats, els seus corresponents nombres poligonals venen donats per l’equació en diferències de primer ordre:

(1)

Per comprendre les variables de les que depenen els nombres poligonals emprarem la notació T_m(n) amb m, n pertanyents als nombres Naturals. On m indica el nombre de costats del polígon, mentre que n indica la posició que ocupa el nombre en la seva respectiva successió.

Podem simplificar l’expressió a:

(1.5)

El nombre obtingut variant la n serà triangular (si b=1), quadràtic (si b=2), pentagonal (si b=3).

Una altra equació en diferències basada en la geometria antiga consisteix a considerar rectes dins un pla i observar com creix el nombre de regions que se formen entre les rectes cada vegada que s’afegeix una nova. L’equació en diferències que descriu el nombre de regions generades ve donada per:

(2)

On R(n) representa el nombre de regions generades, i n el nombre de rectes presents en el sistema.

...