Espacios vectoriales Rn

Espacios vectoriales Rn

• Concepto de espacio vectorial
• Subespacios de espacios vectoriales.
• Espacios en Rn
• Conjuntos generadores, dependencia e independencia lineal.
• Bases y Dimensión.
• Rango de una matriz y sistemas de ecuaciones lineales.
• Coordenadas y cambios de base.
• Aplicaciones.

• Espacios Vectoriales

• Concepto de espacio vectorial

Definición dados dos conjuntos representados por V y F tal que F es una estructura de campo,

Se dice que el conjunto V es un espacio vectorial si V es un grupo conmutativo representado por (V,), y además se cumplen las siguientes operaciones entre los conjuntos V y F.[pic 1]

1.   (Cerradura para la operación por un elemento de F)[pic 2]
2.  (distributiva-asoc. para elementos de V)[pic 3]
3.  (distributiva para elementos de F)[pic 4]
4.   (asociativa para elementos de F)[pic 5]
5.  (existencia del elemento identidad o neutro para F)[pic 6]

Nota: Generalmente F es el conjunto de los números reales (aunque podría ser el conjunto de los números complejos), y las operaciones  y (.) generalmente son la suma, y la multiplicación por un escalar, (la suma tiene diferentes leyes constitutivas dependiendo de los elementos que formen el conjunto V, ya que estos pueden ser vectores en R2, R3, ..., Rn, inclusive un conjunto de matrices o de polinomios de una variable, etc).[pic 7]

Recordar que en el tema de estructuras algebraicas del curso de Álgebra Superior para que (V, ), sea un grupo conmutativo debe cumplir con las cinco propiedades, 1) cerradura, 2) asociativa, 3) existencia del elemento identidad o neutro, 4) existencia del elemento simétrico o inverso, 5) propiedad conmutativa. Por lo que para que V sea un espacio vectorial debe cumplir con las diez propiedades ya indicadas, y se dice que los elementos de V son vectores.[pic 8]

Finalmente, recordar que al ser el conjunto F un campo o cuerpo debe formar una terna con dos operaciones (F, +, o), de tal manera que (F, +) y (F, o), deben ser grupos conmutativos y además se debe cumplir la propiedad distributiva para las dos operaciones.

Veamos dos ejemplos Ilustrativo:

Ejemplo 1) Sea V el conjunto los vectores en R3, y F el conjunto de los números reales con las operaciones de suma y multiplicación tradicional (R, +, X) (tal que cumple la condición de ser una estructura de campo o cuerpo). Comprobar que el conjunto V es un espacio vectorial.

Comprobemos que (R3, +) son un grupo conmutativo:

1. Cerradura: [pic 9]

Sean:[pic 10]

1. Asociativa: [pic 11]
2. Elemento Neutro: [pic 12]
3. Elemento inverso: [pic 13]
4. Conmutativa: [pic 14]

(R3,+) si es un grupo conmutativo o Abeliano[pic 15]

Para las operaciones entre V=R3 y F=R

1. Cerradura:  (si se cumple)[pic 16]
2. . (si se cumple)[pic 17]
3. . (si se cumple)[pic 18]
4.  (Si se cumple)[pic 19]
5. . (si se cumple)[pic 20]

Por lo tanto, el conjunto de vectores en cualquier espacio R3, es un espacio vectorial.

Ejemplo 2) Sea V el conjunto de las matrices de 2X2, y F el conjunto de los números reales con las operaciones de suma y multiplicación tradicional (R, +, X) (tal que cumple la condición de ser una estructura de campo o cuerpo). Comprobar que el conjunto V es un espacio vectorial.

Comprobemos que ([A]2X2, +) son un grupo conmutativo:

1. Cerradura [pic 21]

Demostración: Sea: , [pic 22][pic 23]

: +: [pic 24][pic 25][pic 26]

Si los elementos de ambas matrices pertenecen a los números reales la suma de dos cualesquier de ellos también pertenecerán al conjunto de los números reales por lo que el resultado siempre será una matriz de 2X2 que pertenece al conjunto dado, , por lo que si se cumple esta propiedad. Por ejemplo:[pic 27]

[pic 28]

1. Propiedad asociativa. -

.  Por ejemplo:[pic 29]

{[pic 30][pic 31]

{ [pic 32][pic 33]

                       [pic 34]

1. Existencia del elemento identidad o neutro. -   [pic 35]

[pic 36]

1. Existencia del elemento inverso o simétrico. - [pic 37]

[pic 38]

1. Propiedad conmutativa. - [pic 39]

  (se cumple)[pic 40]

Se cumple que el conjunto de las matrices de dos por dos es un grupo conmutativo o Abeliano.

Ahora comprobemos las otras dos operaciones para los dos conjuntos, de las matrices de dos por dos y el conjunto de los números reales:

1. Cerradura  (si se cumple), por ejemplo, si:[pic 41]

 =-3 y v=   (se cumple)[pic 42][pic 43]

1. . . Por ejemplo:[pic 44]

Si=4, v1= , v2= [pic 45][pic 46][pic 47]

   +}=4+4[pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

=+(se cumple)[pic 53][pic 54][pic 55]

1. , por ejemplo:[pic 56]

= -3, =5, v=[pic 57][pic 58][pic 59]

[pic 60]

   (se cumple)[pic 61]

1. , por ejemplo:[pic 62]

= -3, =5, v=[pic 63][pic 64][pic 65]

[pic 66]

    (se cumple)[pic 67]

1. , por ejemplo:[pic 68]

   (se cumple)[pic 69]

Como podemos observar se cumplen las 10 condiciones para que el conjunto de las matrices de V= sea un espacio vectorial, y sus elementos son todas y cada una de las matrices de 2X2.[pic 70]

• Subespacio de espacios vectoriales

 Sea V, un espacio vectorial cualquiera, si tomamos un conjunto W tal que W sea un subconjunto de V, decimos que el conjunto W es un subespacio de V, si y solo si W es un espacio vectorial por sí mismo.

Teorema. – Se puede demostrar que un subconjunto cualquiera W de un espacio vectorial V, si y solo si el conjunto W, cumple con las propiedades de cerradura para la suma de vectores y para el producto escalar de un vector por un escalar. O sea, las propiedades 1) y 6) de la nota anterior.[pic 71]

1.  [pic 73][pic 72]

1.   [pic 74]

Ejemplo: Sea W el conjunto de las matrices simétricas de 2X2, por lo que W es un subconjunto del espacio vectorial de las matrices de dos por dos. Demostrar que W es un subespacio vectorial del espacio de las matrices de 2X2.

Del ejemplo anterior ya demostramos que el conjunto de las matrices de 2X2 que representamos por:, por lo que solo tenemos que demostrar que se cumplen las dos propiedades de cerradura.[pic 75]

Cerradura para W [pic 76]

Sea:     [pic 77][pic 78]

  [pic 79]

cómo podemos observar los elementos (  (son iguales por lo tanto se cumple que la suma entre dos matrices simétricas cualesquiera dan como resultado otra matriz simétrica. Por lo que se cumple esta propiedad)[pic 80]

Cerradura para F [pic 81]

Sea:   [pic 82][pic 83]

...